填空題中的數形結合技巧

張 忠

(福建省福安市第一中學 355000)

數形結合技巧是解答一些相應的填空題中非常有效的一類方法，破解的基本思維就是利用題目條件，建立對應的圖形、圖象，借助圖形或圖象的直觀性，利用圖形或圖象的形象以及數量的關系來合理轉化，巧妙破解.數形結合法處理時，直觀形象，簡捷有效，是破解小題中的一大常見思維，在數學中占有十分重要的地位.

一、函數問題中的數形結合技巧

破解一些函數的填空題時，直接聯系函數圖象，通過對函數性質的分析，結合相應的圖象，對相應的函數或方程問題加以轉化，轉化為相應的函數圖象問題，數形結合，根據題意條件，結合性質簡捷分析與求解.

例1已知f(x)是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f(x)=x，那么在區間[-1，3]內，關于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1，k≠0)的根的個數最少有____個，最多有____個.

分析直接確定相應方程的根的個數無從下手，而通過函數的性質作出相應的函數圖象，利用直線的性質，數形結合來處理相應的函數問題.

解析先作出x∈[0，1]時，f(x)=x的函數圖象，根據f(x)是以2為周期的偶函數，作出在區間[-1，3]內的圖象，而由于直線y=kx+k+1過點(-1，1)的一簇直線，結合y=f(x)的圖象(如下圖)，易知相應的方程的根的個數最少有1個，圖中上面的那條直線與函數圖象的交點情況；最多有4個，圖中下面的那條直線與函數圖象的交點情況，

故分別填答案：1，4.

圖1

點評抓住函數的圖象與性質是解題的關鍵，同時要相應直線所表示的是一簇直線，利用一簇直線的變化，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.通過方程中的相關問題，轉化為函數來處理，結合方程與函數的對應關系作出相應的圖象，達到求解的目的.

二、幾何問題中的數形結合技巧

涉及一些三角形、圓等幾何問題時，若有效借助數形結合，根據數中思形，以形助數，可以直觀有效地加以轉化，合理構建關系，正確破解相應問題.

分析根據曲線的實質，把問題轉化為直線與雙曲線的一部分之間有一個公共點的問題，利用數形結合加以直觀化，從而形象直觀，簡捷處理.

圖2

點評抓住題目條件中直線與曲線的本質，回歸圖象原型，正確畫圖，準確直觀，利用直線與曲線的圖象的交點情況加以正確解決，從而合理破解相應的解析幾何問題.

三、三角問題中的數形結合技巧

三角函數的圖象與性質是三角函數的重要部分，借助三角函數圖象與性質來處理問題，模型熟悉，直觀快捷.

分析通過條件中輔助角公式的應用，借助正弦型函數的圖象與性質加以數形結合，從而直觀確定方程的解的和問題.

圖3

點評結合三角函數的圖象數形結合，正確判斷出對應的方程的解的對稱情況，從而得以直觀確定兩個角的和的值，直觀形象，快速處理.

四、不等式問題中的數形結合技巧

對于一些含有不等式背景的填空題，通過平面區域等關系知識的轉化，運用數形結合，往往能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.

例4設實數x，y滿足x2+(y-1)2=1，若對于滿足條件的x，y，x+y+c≥0恒成立，則實數c的取值范圍為____.

分析結合題目條件，把對應不等式中的恒成立問題求解參數的值，轉化為直線和圓的位置關系，通過數形結合來處理相應的參數的取值問題.

圖4

點評：抓住不等式恒成立與平面區域之間的關系是破解問題的關鍵所在.合理借助圖象直觀，數形結合，可以把不等式恒成立問題直觀化，形象化，從而實現數形結合的巧妙應用.

當然，數形結合技巧只是解答填空題的一種特殊的策略，有時還要多種方法并重，與其他的破解方法加以組合，共同形成合力，進而快速有效地破解填空題，實現小題不大做，小題巧解，小題妙算，小題直觀形象處理.