中學的方法解決特殊二次不定方程

羅嘉雋

(福建省三明市梅列區洋溪中學 365000)

不定方程一般來講，我們只能給出不定方程的求解的思路方法，利用數學方法技巧，目的要將不定方程轉化成已解決的結果的方程.這就要求需要相當熟練的初等和高等的數學知識，才可以在不定方程中研究出有價值的結果.但是，這不是絕對的，在初等的證明中，具有熟練的初等數論基礎知識也會能得到好的成果.二次不定方程與我們中學數學學習聯系，可以用一些中學學習的知識，解決幾類二次不定方程.

一、形如x1+x2+x3+…+xn=y2二次不定方程的整數解

二次不定方程有很多特殊的類型，對于特殊類型我們可以方便地研究出一些好的性質，其實在中學我們接觸到的不定方程主要是一次不定方程，二次不定方程較少.中學我們學習了數列，其中數列an=2n-1(n∈Z+)對數列求和，發現可以構造出一類二次不定方程，而且這類不定方程的整數解有一定規律.發現奇數數列是此類不定方程的整數解.

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

………………………

1+3+5+7+…+(2n-1)=n2(n∈Z+)

證明1,3，5，7，…，2n-1，…是等差數列，

an=2n-1(n∈Z+).

發現奇數列求和時右邊出現了二次項，如果把奇數列換成未知數，二次項換為未知數，由此啟發歸納一種類型的二次不定方程，形如x1+x2+x3+…+xn=y2.其中要求x1，x2，x3，…,xn，都不為零，因為若其中一個為零那么方程的左邊就相當于少一個元變為n-1個元形式.

x=y2，

有整數解x=1，y=1;

x1+x2=y2，

有整數解x1=1，x2=3，y=2;

x1+x2+x3=y2，

有整數解x1=1，x2=3，x3=5，y=3;

……

x1+x2+x3+…+xn=y2，

有整數解x1=1，x2=3，x3=5，…，xn=2n-1(n∈Z+)，y=n.

顯然零解也滿足方程.

此類不定方程的形式為x1+x2+x3+…+xn=y2(n∈Z+)，奇數列是此類不定方程的一個解x1=1，x2=3，x3=5，…,xn=2n-1，y=n是方程的整數解.

例1求方程x1+x2+x3+x4+x5+x6=y2

(x1，x2，x3，…，x6，y,都不為零)的整數解.

解方程左邊有6項，滿足這樣形式的整數解可以看做6項an=2n-1的數列求和，則x1=1,x2=3,x3=5,x4=7,x5=9,x6=11,y=6是滿足方程的整數解.

由于等差數列的求和公式出現了二次項，那么我們將此結果一般化的話，只要是一個等差數列的每一項是整數，那么通過求和公式構造出一類二次不定方程，那么這個整數列的等差數列，是此類不定方程的整數解.

等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d(n∈Z+)，當a1和d是整數，那么這個等差數列是整數列.

其中整數列an=a1+(n-1)d(n∈Z+)，y=n是不定方程的整數解.

(其中x1，x2，x3，x4,x5,y，都不為0).

左邊有5項，滿足這樣形式的整數解，可以看成是a1=2，d=3.

an=2+(n-1)3的前5項求和，n=5，則x1=2,x2=5,x3=8,x4=11,x5=14,y=5是方程的整數解.

二、余弦定理形式的不定方程

中學還接觸到了余弦定理，那么當三角形ABC三邊為未知數，形如余弦定理形式的二次不定方程整數解，可以把問題轉而尋找滿足方程整數邊的的三角形.

如果三角形ABC的三條邊分別a，b，c，當a，b，c為整數時，那么形如

a2+b2-c2-2abcosC=0

的方程有整數解ma,mb,mc.

例3三角形ABC的三邊分別為a=2，b=4，c=5，

當二次不定方程在有幾何意義下，如滿足余弦定理的形式a2+b2-c2-2abcosC=0(-1≤cosC≤1).

那么滿足這樣情況的不定方程，可以結合余弦定理的幾何意義來找不定方程的整數解.

三、形如ax2+bxy=c(a,b,c∈Z+)二次不定方程的整數解

形如ax2+bxy=c可以觀察到方程的左邊可以進行因式分解，將方程的左邊轉化為兩因式相乘的形式，簡化二次不定方程，具體參見以下例題.

例4求方程x2-xy=5的整數解.

解將方程進行因式分解x(x-y)=5,

x,y∈Z+，x，x-y是5的約數.

本文到此，構造一類等差數列求和形式的二次不定方程，聯系中學學習的等差數列進行結合，找出此類二次不定方程特殊的整數解，由余弦定理的形式構造了有幾何意義的一類二次不定方程.

二次不定方程是研究不定方程的入門，聯系中學接觸的一些知識，對啟發人們對不定方程的興趣有著一定的作用，對研究高次不定方程有著過度借鑒的作用，與中學的等差數列和余弦定理相聯系，能夠使中學生引起興趣.不定方程研究是數論中的一個難點，但不定方程的形式簡單易懂，內容豐富方法多樣，研究不定方程，對人們智慧是一個挑戰，探索數學深處奧秘的一步.學習不定方程能夠鍛煉數學思維與邏輯能力，拓展數學知識面，提高數學分析能力與解決問題能力.