解析數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

曹彩霞

(江蘇省海門市四甲中學(xué) 226100)

一、認(rèn)真審題，構(gòu)建函數(shù)模型

學(xué)生對(duì)函數(shù)模型并不陌生，在初中階段已有所了解.高中數(shù)學(xué)涉及的函數(shù)模型更為深入，難度更大，授課中應(yīng)注重該種模型的應(yīng)用講解.一方面，構(gòu)建函數(shù)模型的關(guān)鍵在于找到自變量和因變量之間的關(guān)系；另一方面，為學(xué)生講解常見(jiàn)函數(shù)模型解答方法.

例1有一片樹(shù)林現(xiàn)有木材儲(chǔ)蓄量為7100m3，要力爭(zhēng)是木材儲(chǔ)蓄量20年后翻兩番，已達(dá)到28400m3.

(1)求平均每年木材儲(chǔ)蓄量的增長(zhǎng)率.

(2)如果平均每年增長(zhǎng)率為8%，幾年可以翻兩番？

認(rèn)真分析可知，解答該題目需要用到指數(shù)函數(shù)模型.對(duì)于(1)可設(shè)年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可構(gòu)建如下模型：7100(1+x)20=28400，即(1+x)20=4，由對(duì)數(shù)知識(shí)可知，20lg(1+x)=2lg2，即lg(1+x)≈0.0301，∴x+1≈1.072，所以x≈0.072=7.2%.(2)設(shè)y年可以翻兩番，則構(gòu)建模型為：7100(1+0.08)y=28400，解得y≈18.02，即十八年后可以翻兩番.通過(guò)該題目的講解使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，構(gòu)建函數(shù)模型要認(rèn)真審題，找到關(guān)鍵字構(gòu)建對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)模型.

二、把握特點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)列模型

數(shù)列模型是高中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn)的模型，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種類型.應(yīng)用該種模型解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，判斷是等比數(shù)列還是等差數(shù)列模型尤為關(guān)鍵.一方面，為學(xué)生總結(jié)等差數(shù)列和等比數(shù)列模型特點(diǎn)，使其認(rèn)清兩種模型之間的區(qū)別，結(jié)合題干找到首項(xiàng)、公差或公比.另一方面，解答數(shù)列模型時(shí)，應(yīng)積極回顧所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，包括前n項(xiàng)和、數(shù)列的單調(diào)性，尤其注意在求解等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注重按照公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行分類討論.

三、鼓勵(lì)想象，構(gòu)建空間模型

立體幾何是高考的重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生空間想象能力要求較高.解答相關(guān)試題時(shí)構(gòu)建合理的空間模型尤為重要.為使學(xué)生靈活應(yīng)用空間模型解答立體幾何試題，一方面，可運(yùn)用多媒體技術(shù)，從不同角度向?qū)W生展示立體幾何圖形，加深其對(duì)立體幾何點(diǎn)、線、面要素的認(rèn)識(shí)，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想生活中的立體幾何圖形，合理想象，在頭腦中形成清晰的空間對(duì)象.另一方面，要求學(xué)生具體問(wèn)題具體分析，在求解的過(guò)程中，使用常規(guī)解法或向量解法，不斷提高空間模型解答能力.

圖1 圖2

四、深思熟慮，構(gòu)建概率模型

概率模型是高中數(shù)學(xué)的重要模型之一，相關(guān)試題難度并不大，但仍有一些學(xué)生在解題中出錯(cuò)，因此為提高學(xué)生的概率模型應(yīng)用能力，一方面，為學(xué)生講解常見(jiàn)概率模型，包括古典概型和幾何概型，使其充分理解兩種模型之間的區(qū)別，以及應(yīng)用注意事項(xiàng)，如分析古典概型時(shí)，應(yīng)注重當(dāng)情況不確定時(shí)應(yīng)注重分類討論，保證考慮問(wèn)題的全面性.另一方面，構(gòu)建概率模型時(shí)，可圍繞具體的問(wèn)題情景，要求學(xué)生深思熟慮，認(rèn)真分析，不斷鍛煉學(xué)生的模型分析以及構(gòu)建能力.

例4某單位有3項(xiàng)業(yè)務(wù)要招標(biāo)，共有5家公司前來(lái)投標(biāo)，且每家公司對(duì)3項(xiàng)業(yè)務(wù)發(fā)出了投標(biāo)申請(qǐng)，最終發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)業(yè)務(wù)都有且只有一家公司中標(biāo).如果5家公司在各項(xiàng)業(yè)務(wù)中目標(biāo)的概率均相等，問(wèn)這3項(xiàng)業(yè)務(wù)由同一家公司中標(biāo)的概率為多少？

綜上所述，數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)能力，根據(jù)題意構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)模型可明顯提高解題效率，因此授課中應(yīng)提高認(rèn)識(shí)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生認(rèn)真細(xì)致地講解數(shù)學(xué)建模專業(yè)知識(shí).同時(shí)創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問(wèn)題情景，對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型構(gòu)建訓(xùn)練，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)與技巧，不斷提高數(shù)學(xué)解題能力.