圓錐曲線的參數方程及其應用

李學友 劉 芳

(湖北省荊門市第一中學 448000)

參數方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表示形式.特別對于一些圓錐曲線問題時，用參數方程表示比用普通方程表示時來解決問題更方便，同時有助于學生進一步體會解決問題中數學方法的靈活多變.

一、橢圓的參數方程

分析通過把橢圓的直角坐標方程轉化為相應的參數方程，結合對應的表達式轉化為三角函數的最值問題再加以分析與求解.

點評對于橢圓中的最值問題，通過參數方程表示比用普通方程表示更方便.特別利用參數方程來求解一些最值問題，是應用中的一大特點.

二、雙曲線的參數方程

分析先把雙曲線化為參數方程，將相應的代數式轉化為參數t的表達式，通過分類討論，結合基本不等式確定取值范圍問題.

點評對于雙曲線中的代數式取值范圍問題，通過參數方程表示比用普通方程表示更直觀，結合參數的轉化功能，巧妙利用基本不等式來解決有關的取值范圍或最值問題，達到非常好的效果.

三、拋物線的參數方程

例3過拋物線C：y2=2px(p>0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB，求線段AB中點M的軌跡方程.

分析先把拋物線化為參數方程，設出點A、B的坐標，利用弦OA、OB垂直建立相應參數的關系式，結合中點公式消去相應的參數求得對應的軌跡方程.

點評對于拋物線中的軌跡問題，通過參數方程表示比用普通方程表示解決起來更簡單快捷，可以直接利用參數坐標建立相應的關系式加以分析與應用.

利用參數方程來解決圓錐曲線問題是一種很好的數學方法，特別對于有些難以下手的問題，若用參數方程去解決的話，往往能化繁為簡，迎刃而解，起到事半功倍的效果.既能鍛煉學生的邏輯思維，拓寬解題思路，培養學生一題多解的能力，又能激發他們的潛能，潛移默化他們的數學思想，提高他們的學習積極性和主動探索實踐的能力.