換一個視角看向量法求二面角問題的新思路

付宏祥

(甘肅省定西市安定區東方紅中學 743000)

二面角的求解是高考命題中常出現的問題．空間向量的引入，利用平面的法向量的夾角來度量二面角的大小，對二面角的大小求解帶來了很大的方便，不失為一個好方法．但兩個法向量均指向二面角的內部或外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角的補角；兩個法向量中一個指向二面角的內部，另一個指向二面角的外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角，需在寫出二面角的平面角的大小前做出判斷后進行準確回答．當二面角接近直角或不宜觀察時，要判斷二面角的大小范圍就有一定的難度了．

我們能不能在求解二面角的平面角大小時避免判斷直接將問題解決呢？實質上只需回歸二面角的平面角定義，分別在兩半平面內尋找從棱出發垂直棱的向量m、n(如圖1)，則兩向量m、n的夾角即為所求二面角的平面角．向量m、n的得到可以借助共線向量基本定理，即向量共線的充要條件：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a=λb來求解向量，使得問題完美解決．下面結合2018、2019年北京卷理科兩道高考試題談談問題解決的具體過程．

(1)求證：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交．

解析(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，因為CC1⊥平面ABC，所以四邊形A1ACC1為矩形．

又E，F分別為AC，A1C1的中點，所以AC⊥EF．

因為AB=BC，所以AC⊥BE．

因為EF∩BE=E，所以AC⊥平面BEF．

(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC．因為BE?平面ABC，所以EF⊥BE．如圖3建立空間直角坐標系E-xyz．

(3)略．

注：該題第(2)問利用法向量求二面角B-CD-C1的余弦值時，需結合實際判斷該二面角為鈍角，才能準確表達出二面角的余弦值，但若采用在二面角半平面內選擇適當的向量既能簡化運算，又能準確表示二面角的大小，避免了運用平面法向量求解二面角的大小時判斷二面角的環節，使得問題快速準確的解決．

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

解析(1)因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因為AD⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．

(2)過A作AD的垂線交BC于點M．因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖5建立空間直角坐標系A-xyz，則A(0,0,0)，B(2,-1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

(3)略．

注：該題第(2)問利用法向量求二面角F-AE-P的余弦值時，需結合實際判斷該二面角為銳角，才能準確表達出二面角的余弦值，但是若結合空間向量的加法、減法及數乘等基本運算尋找垂直于棱的向量，即可靈活、簡練、準確地解決問題．

在高考立體幾何試題中，有關二面角的計算問題屢屢出現，仔細品味空間角的解法既可從幾何角度解決，又可從向量角度解決，問題解決形式多樣、靈活多變，對我們理解立體幾何問題有很大幫助．大多數二面角的求解能從實際出發，找出從棱出發分別在各自半平面內的垂直于棱的向量，此兩向量的夾角即為所求二面角的平面角，用向量的夾角計算出二面角的大小，對問題的解決快捷高效、準確明了，不失為計算二面角大小的一種好方法，值得大家借鑒．