巧抓“隱圓” 妙解“最值”

李國林

(江蘇省溧水高級中學(xué) 211200)

一、三角形中的隱圓

圖1

例3 在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a2+b2+2c2=8，則△ABC面積的最大值為____.

圖2

分析類比上題的想法，也可以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸

點評本題抓住所給條件是一個二次形式，以這樣對稱形式建系可得到較簡單的“圓”的形式，回避了大量解三角形的運算，優(yōu)化了解題過程，進而降低了本題難度.實際上，對于兩個不同的定點A,B，若動點P滿足PA2+PB2=AB2，對則點P的軌跡是以AB為直徑的一個圓，類比這個結(jié)論，我們自然會想到：若PA2+PB2=m2(m>0)，則點P的軌跡是什么？點P的軌跡是一個圓，證明如下： 以AB所在直線為x軸，中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨設(shè)AB=2a(a>0)，P(x,y)則A(-a,0)，B(a,0).

二、已經(jīng)建立坐標(biāo)系中的特殊條件

1.平面內(nèi)有一定點，若一個動點到該定點的距離為常數(shù)，那么該動點的軌跡是“圓”

圖3

點評可以看到，從“形”入手，會使解題過程非常順暢，該問題解決的關(guān)鍵點是挖掘動點M的軌跡是一個隱形圓.本題的關(guān)鍵是分析蘊含的幾何條件，發(fā)掘其中的隱形圓，使問題的解決有了實質(zhì)性的突破.

2.平面內(nèi)有兩個定點，若一動點到這兩個兩定點的連線彼此垂直，那么該動點的軌跡是“圓”

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P，則當(dāng)實數(shù)k變化時，點P到直線l3:x-y-4=0的距離的最大值為____.

分析這是一道解析幾何題，其常規(guī)思路是先聯(lián)立直線l1,l2，進而求得交點P的坐標(biāo)，再求P到直線l3最大值，運算繁冗.由于參量k不定，進而點P為動點，若能依據(jù)條件求得點P的軌跡，則問題轉(zhuǎn)化為曲線上動點P到定直線的距離的最大值.

點評由于直線l1,l2處于運動狀態(tài)，我們從動態(tài)中發(fā)掘出不動點A,B，這一策略的關(guān)鍵點是根據(jù)PA與PB的垂直關(guān)系挖掘出點P的軌跡是以AB為直徑的隱形圓.

3.求動點的軌跡方程為隱含圓

分析本題為參數(shù)方程與極坐標(biāo)的結(jié)合，直線l化為普通方程后為定直線，點P的橫縱坐標(biāo)是有聯(lián)系的，若能利用這個聯(lián)系，就能簡化運算了.

點評若從函數(shù)角度先表示距離，整個計算量較大，抓住點P橫縱坐標(biāo)的內(nèi)在規(guī)律，考慮曲線C的軌跡，從“形”的角度來處理,讓我們解題事半功倍.

總之，本文主要闡述隱含圓的發(fā)掘及其在解題中的作用.所述例題的特點都是題設(shè)條件涉及一個或多個動點，結(jié)論則需要求一條線段長度的范圍或最值，從數(shù)的角度看，最終都要依靠函數(shù)、方程或不等式的知識來解決，且都有較大的運算量.這促使我們轉(zhuǎn)換解題的視角和入口，將“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，運用軌跡思想尋求動點的規(guī)律，從而發(fā)掘隱含圓，進而獲得問題的最優(yōu)解決方案.這需要我們學(xué)生能經(jīng)常做一些積累，形成良好的知識網(wǎng)絡(luò).