例談補形法解立體幾何題

劉立強 杜紅全

(1.甘肅省康縣第一中學 746500;2.甘肅省康縣教育局教研室 746500)

補形法就是根據題目的題設的條件和圖形，經過觀察、分析及聯想，運用添加輔助線的方法，將其轉化為范圍更廣的、其特征更明顯的、更為熟悉的幾何圖形，從而溝通條件和結論之間的聯系.用補形法做題既可以化難為易，又能培養學生空間想象能力.下面舉例說明.

一、補形成長方體

例1 如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求異面直線AC與D1B所成的角的余弦值.

解在長方體的一旁補上一個相同的長方體，如圖1，則ABCE，所以四邊形ABEC是平行四邊形，所以BEAC，所以∠D1BE(或補角)即為異面直線AC與D1B所成的角.在△D1BE中，因為由余弦定理，得

所以異面直線AC與D1B所成的角的余弦值為

二、補形成正方體

例2 如圖2，過正方形ABCD的頂點A，作PA⊥平面ABCD，PA=AB，求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

解將圖2補成如圖3所示的正方體ABCD-PQRS，平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小，就等于平面ABQP和平面DCQP所成的二面角的大小.易證四邊形CDPQ是矩形，進而可知∠CQB是平面ABQP和平面DCQP所成二面角的平面角，易知∠CQB=45°.所以平面PAB和平面PCD所成的二面角是45°.

三、補形成平行六面體

四、補形成四棱錐

例4三棱錐A-BCD，AB=CD=a，AB與CD成θ角，且AB與CD的距離為b，求三棱錐A-BCD的體積.

解如圖5，在平面BCD內作BCDE，則AB與BE所成的角是AB與CD所成的角，所以∠ABE=θ，或∠ABE=π-θ.因為四邊形BCDE為平行四邊形，所以S△BCD=S△BDE.又CD∥平面ABE，所以CD到平面ABE的距離就是AB與CD的距離，所以VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE.又所以