機電伺服系統(tǒng)L1自適應(yīng)控制

謝宜含， 姚建勇

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

引言

傳統(tǒng)的機電伺服系統(tǒng)存在諸多的不確定性，各類不確定性的存在往往會對系統(tǒng)產(chǎn)生極大的影響，同時也是提升系統(tǒng)整體性能的關(guān)鍵。這些影響因素的存在對機電伺服系統(tǒng)的快速性和抗干擾性提出了更高的要求。已有非線性控制方法盡管可以處理系統(tǒng)的不確定性，但是對于系統(tǒng)高頻跟蹤的要求較難滿足，而傳統(tǒng)的線性頻寬控制方法又因為缺乏主動補償不確定性的手段而難以達到高精度控制要求。

現(xiàn)代社會中，尖端機械電子設(shè)備的一類發(fā)展方向為其高精度的動態(tài)控制，而控制性能指標(biāo)是其中最主要的性能[1-2]。機電伺服系統(tǒng)的靜態(tài)、準(zhǔn)靜態(tài)高性能控制已經(jīng)得到較好的解決， 然而機電伺服系統(tǒng)仍存在高動態(tài)控制的需求，即高頻下的指令跟蹤問題。此時，系統(tǒng)的難建模高階動態(tài)會被激發(fā)，進而與系統(tǒng)固有的非線性、不確定性等耦合，導(dǎo)致非線性控制策略的設(shè)計更加復(fù)雜與困難。

目前已有的非線性實驗結(jié)果仍然無法較好地處理機電伺服系統(tǒng)的高動態(tài)控制問題，其根本原因在于非線性控制器的設(shè)計過程中忽略了頻寬這一設(shè)計要素，而一種基于L1自適應(yīng)控制法的跟蹤策略可以實現(xiàn)非線性控制器與線性頻寬間的一體化設(shè)計。通過將低通濾波器引入控制器的方案，L1自適應(yīng)控制法可以解耦系統(tǒng)的快速自適應(yīng)與魯棒性，使系統(tǒng)在實現(xiàn)快速性的同時保證良好的魯棒性[3]。正因如此，基于此方法來設(shè)計構(gòu)建機電伺服系統(tǒng)能夠很大程度上保證高動態(tài)控制需求。L1自適應(yīng)控制法的概念由CAO Chengyu等[4]提出。一般控制系統(tǒng)的高增益通常會使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩，這也是一般自適應(yīng)控制方法普遍存在的一類問題。而新提出的L1自適應(yīng)控制法從結(jié)構(gòu)入手，于控制器中增添低通濾波器環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)控制信號中的高頻成分得以有效濾除，因此可以有效解決一般自適應(yīng)控制方法中無法同時保證高增益下的快速性與盡可能少地產(chǎn)生高頻振蕩的問題。

而在對于機電伺服系統(tǒng)的信號處理上，存在一對微分關(guān)系的信號。基于此前提的數(shù)據(jù)處理可由對一組信號數(shù)值進行微分運算，從而得到系統(tǒng)所需的一對相關(guān)信號。一般情況下，信號處理中的微分運算可以直接通過數(shù)值差分法得出。然而，各類控制系統(tǒng)中的信號都存在噪聲和不連續(xù)，很難完成微分計算。針對此情況，韓京清[5]于1994年提出了非線性跟蹤微分器的概念，利用數(shù)值積分優(yōu)于數(shù)值微分的狀況，將給定信號的微分轉(zhuǎn)化為一組微分方程的積分問題，以完成信號的跟蹤及微分。此后文獻[6]進一步提出的離散形式的跟蹤微分器，不僅可以消除顫振，并且具備良好的動態(tài)響應(yīng)和較高的穩(wěn)態(tài)精度，非常適合于機電伺服系統(tǒng)的信號處理與速度估計[7-12]。

本研究基于L1自適應(yīng)控制方法與離散形式跟蹤微分器設(shè)計機電伺服系統(tǒng)控制律，并經(jīng)過仿真驗證了所設(shè)計控制律的魯棒性與快速性，驗證了跟蹤微分器的信號提取能力，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

1 機電伺服系統(tǒng)

1.1 機電伺服系統(tǒng)物理模型

所考慮的機電伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。本研究考慮的為伺服電動機直接驅(qū)動慣性負(fù)載的直流電機，其目的是使慣性負(fù)載盡可能地跟蹤任何平滑的運動軌跡。

圖1 機電伺服系統(tǒng)

通常，驅(qū)動的動態(tài)部分可分為內(nèi)部電氣和外部機械2個子系統(tǒng)。由于自身的固有屬性，外部的機械子系統(tǒng)相較于內(nèi)部的電氣系統(tǒng)而言動態(tài)響應(yīng)較慢。因此，控制系統(tǒng)的整體表現(xiàn)由外部的機械子系統(tǒng)決定。系統(tǒng)的方程可表示如下[13-14]：

(1)

(2)

其中，l1和l2代表不同的摩擦力；s1，s2,s3代表了各類摩擦效應(yīng)的系數(shù)。

1.2 機電伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

基于式(1)、式(2)的機電伺服系統(tǒng)物理模型，可以將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型表述如下：

(3)

其中,x=[x1,x2]T為機電伺服系統(tǒng)的狀態(tài)和速度向量；設(shè)置參數(shù)集τ=[τ1,τ2,τ3,τ4,τ5]T，其中τ1=m/Ki，τ2=l1/Ki,τ3=B/Ki,τ4=dn/Ki，τ5=l2/Ki；并且d(x,t)=f(x,t)/Ki-dn/Ki；Sf(x2)=tanh(s1x2)；pf(x2)=tanh(s2x2)-tanh(s3x2)，τ4中的dn為總摩擦系數(shù)，使得所設(shè)計自適應(yīng)控制律通過f(x,t)的緩慢變化保證跟蹤性能[16]。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性通常由系統(tǒng)參數(shù)變化造成，例如機電伺服系統(tǒng)中的參數(shù)m,Ki,l1,l2,B以及dn。而由于系統(tǒng)組成、工作條件以及環(huán)境的差異，參數(shù)集τ可視為結(jié)構(gòu)不確定性。

在此基礎(chǔ)上，可以進一步將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表述為：

τ2tanh(s1x2)-τ5(tanh(s2x2)-

tanh(s3x2))-τ4-d(x,t))

(4)

其中的e,f均為已知可變常值，隨系統(tǒng)參數(shù)值變化而變化，以獲得最佳控制效果。上述表達式(4)與L1自適應(yīng)控制器的系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)相同。

2 L1自適應(yīng)控制器

2.1 L1自適應(yīng)控制器的設(shè)計

L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)由被控對象、狀態(tài)預(yù)測器、控制器和自適應(yīng)律4部分組成[17-18]。其中狀態(tài)預(yù)測器用于估計模型的狀態(tài)和變化；自適應(yīng)律為用于估計參數(shù)；控制器采用補充低通濾波器的結(jié)構(gòu)。根據(jù)給定的跟蹤信號，L1自適應(yīng)控制器按照給出的自適應(yīng)律實時調(diào)整控制量，最后通過控制器中的低通濾波器對控制量的高頻分量進行濾波，以實現(xiàn)既定性能。

1) 被控對象

(5)

其中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量(可測量)；u(t)∈R是控制輸入；y(t)∈R為系統(tǒng)輸出；b,c∈Rn為已知的常數(shù)向量；Am∈Rn×n是一個已知的Hurwitz矩陣，并要求滿足閉環(huán)動態(tài)特性；ω∈R為一個含有已知符號的未知常量；θ(t)∈Rn為一個含有未知參數(shù)的時變矢量；σ(t)∈R為時變干擾。

2) 狀態(tài)預(yù)測器

(6)

3) 自適應(yīng)律

(7)

4) 控制器

將控制器的輸出作為系統(tǒng)的控制輸入：

(8)

而若要使L1自適應(yīng)控制器穩(wěn)定，需要滿足穩(wěn)定性條件：

(9)

通過式(5)～式(7)所定義的L1自適應(yīng)控制器需要滿足以下范數(shù)條件：

(10)

只有滿足方程式(10)的條件，才能確保所述系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的一致有界性。

L1自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 L1自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)圖

2.2 L1自適應(yīng)控制器穩(wěn)定性分析

文獻[19]中指出，根據(jù)被控對象(5)以及狀態(tài)預(yù)測器(6)可以得到如下系統(tǒng)動態(tài)誤差：

(11)

選取Lyapunov函數(shù)：

(12)

對其求導(dǎo)后化簡，可通過自適應(yīng)律中的投影算子得到：

(13)

(14)

(15)

綜合上式可得：

(16)

那么，如果存在：

(17)

其中：

(18)

從而：

(19)

(20)

可得：

(21)

通過式(21)可得，狀態(tài)量的跟蹤誤差收斂，并無限趨近于數(shù)值零的一個范圍內(nèi)。同時，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差與自適應(yīng)增益Γ呈負(fù)相關(guān)。

3 跟蹤微分器

為了實現(xiàn)L1控制器，需要得到存在輕微噪聲干擾的位移信號和速度信號。而通過以下的跟蹤微分器，可盡可能快地獲得所需要的信號。下式中，跟蹤微分器以離散的形式給出[20]：

X1(i+1)=X1(i)+TX2,X2(i+1)=X2(i)+Tfhan

(22)

其中：

(23)

(24)

其中,R為速率限制參數(shù)；h為積分步長，并可以通過選擇與采樣頻率T不同的數(shù)值來抑制噪聲；v為輸入信號；X1,X2為跟蹤微分器的輸出信號。在文獻[21-22]中可以找到對于上述跟蹤微分器穩(wěn)定性的討論，其結(jié)果表明，輸出信號X1能夠很好地跟蹤輸入信號v，而輸出信號X2可以跟蹤輸入信號v關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)。因此，算法式(22)被稱為跟蹤微分器。

在接下來的仿真中將利用上述的跟蹤微分器，將系統(tǒng)的輸出x1應(yīng)用到跟蹤微分器，即可得到其關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)x2，即系統(tǒng)所需的狀態(tài)x1和x2。

4 系統(tǒng)仿真

4.1 常值期望指令下的控制效果

自適應(yīng)控制的輸入形式如下：

D(s)=(0.00002s+0.009)/(0.001s2+0.05s+1.45)

其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式中參數(shù)選取如下：

θ=[400 1.4-τ3]T=[400 -98.6]T

針對研究的機電伺服系統(tǒng)簡化模型，以目前使用廣泛的PID控制器為參考，綜合考慮控制器的快速性、魯棒性以及合理的控制輸入量，將其參數(shù)設(shè)置為：

KP=47.16,KI=24.91,KD=-5.49

針對外加時變干擾的情況，將設(shè)計的L1自適應(yīng)控制與PID控制律進行對比仿真可得，圖3為系統(tǒng)存在時變干擾時的L1自適應(yīng)控制與PID控制對比效果曲線，圖4為L1自適應(yīng)控制器與PID控制器的控制輸入隨時間變化情況，圖5為L1控制器中參數(shù)估計的時變情況，圖6為跟蹤微分器的跟蹤效果圖。

從圖3～圖6可得出，系統(tǒng)輸出能快速跟蹤上參考輸入；控制輸入在一定范圍內(nèi)一致有界；參數(shù)估計一致有界；跟蹤微分器可從測量信號中合理提取連續(xù)信號及微分信號。L1自適應(yīng)控制器保證了系統(tǒng)在不確定的高頻時變擾動下具有一致且光滑的暫態(tài)特性，當(dāng)自適應(yīng)增益適當(dāng)時，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差較小。通過將L1自適應(yīng)控制器與MATLAB自整定的PID控制器進行對比可得：L1自適應(yīng)控制器引入的狀態(tài)預(yù)測器能夠更有效地識別外界干擾，快速跟蹤輸入誤差，具有良好的魯棒性。L1自適應(yīng)算法獨特之處在于能夠有效識別不確定參數(shù)并具備良好抗干擾能力。相比于圖4中PID控制器，L1自適應(yīng)控制器只需要較少的輸入量即可達到同PID控制相同甚至更好的效果。

圖3 L1控制器與PID控制器常值跟蹤效果對比圖

圖4 L1控制器與PID控制器控制輸入隨時間變化情況

圖5 L1控制器參數(shù)估計隨時間變化曲線

圖6 跟蹤微分器效果圖

為保證仿真結(jié)論的合理性與普適性，除對比控制器常值跟蹤效果外，補充2種時變信號期望指令下的控制效果與控制輸入對比效果。

4.2 正弦信號期望指令下的控制效果

其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式中參數(shù)選取如下：

其余參數(shù)保持與4.1中一致。仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7～圖9分別為系統(tǒng)在正弦信號期望指令下的跟蹤效果、跟蹤誤差及控制輸入對比圖。與常值信號仿真結(jié)果相比仍可得普適性結(jié)論，即保證一定范圍內(nèi)控制輸入量時，L1自適應(yīng)控制器只需要較少的輸入量即可達到同PID控制相同甚至更好的效果。

圖7 L1控制器與PID控制器正弦信號跟蹤效果對比圖

圖8 L1控制器與PID控制器正弦信號跟蹤誤差對比圖

圖9 L1控制器與PID控制器正弦信號控制輸入對比圖

4.3 方波信號期望指令下的控制效果

選取方波信號參考輸入為：

其余參數(shù)保持與4.1中一致。仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。

圖10 L1控制器與PID控制器方波信號跟蹤效果對比圖

圖11 L1控制器與PID控制器方波信號跟蹤誤差對比圖

圖12 L1控制器與PID控制器方波信號控制輸入對比圖

圖10～圖12分別為系統(tǒng)在方波信號期望指令下的跟蹤效果、跟蹤誤差及控制輸入對比圖。其仿真結(jié)果與上述兩類期望指令下的結(jié)果具有一致性，即時變信號期望指令下的控制效果L1自適應(yīng)控制器仍更優(yōu)于PID控制器。

綜合以上3類期望指令下的仿真結(jié)果可得出，對于機電伺服系統(tǒng)采用基于L1的自適應(yīng)控制方法后，其跟蹤精度較高，動態(tài)響應(yīng)快。在干擾力矩的影響下，系統(tǒng)的位置響應(yīng)誤差仍能滿足系統(tǒng)靜態(tài)跟蹤要求?？梢?，L1自適應(yīng)控制法能夠快速地實現(xiàn)位置跟蹤，具有良好的魯棒性。

5 結(jié)論

本研究采用了L1自適應(yīng)控制理論設(shè)計了機電伺服系統(tǒng)的控制器，得到了如下結(jié)論：

(1) 將線性頻寬與非線性控制器以一體化設(shè)計相結(jié)合，采用基于L1自適應(yīng)控制的理論應(yīng)用于機電伺服系統(tǒng)，并證明該方法的有效性，系統(tǒng)調(diào)節(jié)誤差收斂；

(2) 通過快速跟蹤微分器，以離散化的形式合理地提取連續(xù)信號及微分信號，同時有效抑制噪聲放大特性；

(3) 本研究設(shè)計的控制器能較好地實現(xiàn)系統(tǒng)的性能跟蹤，同時具備較高的系統(tǒng)跟蹤精度。其次，控制裝置通過引入頻寬的設(shè)計進一步簡化，為高性能的電機伺服系統(tǒng)研究奠定了較好的基礎(chǔ)。