END 隨機(jī)變量序列移動平均過程的極限性質(zhì)

宋明珠，邵靜，劉彩云

（銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵244000）

1 引言和引理

NOD(negatively orthant dependent)隨機(jī)變量序列由EBRAHIMI 等[1]首先提出,其定義如下：

定義1若對任意的n≥1,x1,x2,…,xn∈R,都有

則稱序列{Xn;n≥1}是NOD 隨機(jī)變量序列。

END(extended negatively dependent)隨機(jī)變量序列由LIU[2]提出,其定義如下：

定義2如果存在常數(shù)M＞0,若對任意的n≥1,x1,x2,…,xn∈R,都有

則稱序列{Xn;n≥1}是END 隨機(jī)變量序列。

當(dāng)M=1 時，END 隨機(jī)變量序列就是NOD 隨機(jī)變量序列，LIU[2]通過例題指出，END 隨機(jī)變量序列既包含負(fù)相依(NA)隨機(jī)變量序列又包含正相依隨機(jī)變量序列，而JOAG-DEV 等[3]指出，NA 隨機(jī)變量序列是NOD 隨機(jī)變量序列，因此END 隨機(jī)變量序列極限理論比其他相依隨機(jī)變量序列應(yīng)用更廣。自2009 年引入END 隨機(jī)變量序列定義后，學(xué)者們對其展開了研究并獲得了許多有意義的成果，如LIU[4]得到了END 隨機(jī)變量序列中偏差適度的充分必要條件：CHEN 等[5]得到了END 隨機(jī)變量序列的一個強(qiáng)大數(shù)定理，并且討論了其在風(fēng)險管理和更新過程中的應(yīng)用；SHEN[6]得到了END 隨機(jī)變量序列的概率不等式和矩不等式；WU 等[7]獲得了END 隨機(jī)變量序列部分和的強(qiáng)極限性質(zhì)；WANG 等[8]給出了END 隨機(jī)變量序列精確的大偏差結(jié)果等。

設(shè){Yn,-∞＜n＜∞}是定義在同一概率空間{Ω,F,P}的隨機(jī)變量序列，{an,-∞＜n＜∞}是絕對可和的實常數(shù)序列，即|ai|＜∞，令

則稱{Xn,n≥1}是由{Yn,-∞＜n＜∞}生成的移動平均過程。

近年來，許多學(xué)者對移動平均過程展開了研究，當(dāng){Yn,-∞＜n＜∞}是獨立同分布時，獲得了許多與移動平均過程相關(guān)的結(jié)論，如IBRAGIMOV[9]獲得了中心極限定理，ROBERT 等[10]獲得了大偏差原理，LI 等[11]研究了完全收斂性，CHEN 等[12]得到了陣列移動平均過程對數(shù)律成立的充要條件等。當(dāng){Yn,-∞＜n＜∞}是相依序列時，關(guān)于移動平均過程中{Xn,n≥1}的極限理論研究也取得了一些成果，如李云霞等[13]研究了由ρ-混合隨機(jī)變量序列生成的移動平均過程的弱收斂性質(zhì)，ZHANG[14]得到了同分布φ-混合隨機(jī)序列生成的移動平均過程的完全收斂性，CHEN 等[15]得到了同分布φ-混合隨機(jī)變量序列生成的移動過程極大值的完全收斂性等。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究由END 隨機(jī)變量序列生成的移動平均過程的性質(zhì)，利用END 序列Rademacher-Menshov 型不等式，得到了該過程部分和最大值的矩完全收斂性和幾乎處處收斂的極限性質(zhì)，進(jìn)而推進(jìn)了前人的研究工作。

定義3設(shè){Yn,-∞＜n＜∞}是隨機(jī)變量序列，Y為非負(fù)隨機(jī)變量，C為大于0 的常數(shù)。若對任意的x＞0，有

則稱{Yn,-∞＜n＜∞}尾概率一致有界于Y，記為{Yn,-∞＜n＜∞}?Y。

引理1[6](Rademacher-Menshov 型不等式)設(shè)p≥1，{Yn,-∞＜n＜∞}是END 隨 機(jī) 變 量 序列，滿足EYn=0 和E|Yn|p＜∞，則存在只依賴于p的正常數(shù)Cp，使得

引理2[4]設(shè){Yn,-∞＜n＜∞}是END 隨機(jī)變量序列，f1,f2,…,fn同為單調(diào)遞增(遞減)的函數(shù)列，則f1(Y1),f2(Y2),…,fn(Yn)也是END 隨機(jī)變量序列。

引理3[16]設(shè){Yn,-∞＜n＜∞}?Y，則對任意a,b＞0，下列不等式成立:

引理4[17]令{Xn,n≥1}和{Yn,n≥1}為任意2個隨機(jī)變量序列，則對任意的q＞1,ε＞0,a＞0，有

本文約定,文中出現(xiàn)的C均表示常數(shù)，不同地方可代表不同的值；logx=ln（max（x，l）。

2 主要結(jié)果及證明

定 理1設(shè)ap＞1,a＞1 2,p≥1,{Xn,n≥1}是由式(1)定義的移動平均過程，Sn=Xj。{Yn,-∞＜n＜∞}是均值為零的END 隨機(jī)變量序列，且{Yn,-∞＜n＜∞}?Y，{an,-∞＜n＜∞}是絕對可和的實常數(shù)序列，若E|Y|plgq|Y|＜∞,

則對任意的ε＞0，有

由引理4 和EYn=0 知，對任意的q＞1，令a=na，得

為證式(4)，只需證I1＜∞,I2＜∞。

對于I2，利用引理3 得

利用引理3，對任意的q＞1,q＞p，有

由 引 理2 知，對?j,{-是 期 望 為 零 的END 隨機(jī)變量序列。利用Cr-不等式和Ho?lder 不等式得

當(dāng)1＜q≤2 時,由引理1 的式（2）(Rademacher-Menshov 型不等式)，得

當(dāng)q＞2 時，因 為q＞所 以ap-2-aq+q2 ＜-1。 由 引 理1 的 式（3）(Rademacher-Menshov 型不等式)，得

定理1 得證。

定 理2設(shè)ap＞1,a＞1 2,p≥1,{Xn,n≥1}是由式(1)定義的移動平均過程，Sn=Xj。{Yn,-∞＜n＜∞}是均值為零的END 隨機(jī)變量序列，且{Yn,-∞＜n＜∞}?Y，{an,-∞＜n＜∞}是絕對可和的實常數(shù)序列，若E|Y|plogq|Y|＜∞,

證明由定理1 知，對?ε＞0，有

由Borel-Cantelli 引理可知，

對任意正整數(shù)n，一定存在正整數(shù)j，使得2j-1≤n≤2j,則由式(5)可得

定理2 得證。