D*-度量空間廣義弱壓縮映射的不動點定理

張瑜，薛西鋒

（西北大學數學學院，陜西西安710127）

0 引 言

不動點問題是非線性泛函分析的重要組成部分, 而滿足一定壓縮條件的映射不動點問題一直是研究的熱點。 自從1997 年ALBER 等[1]提出弱壓縮的概念以來, 越來越多的學者開始在度量空間研究弱壓縮映射的不動點問題, 并向其他廣義度量空間推廣。 文獻[2]證明了滿足弱壓縮映射的不動點定理; 文獻[3-6]提出了廣義的弱壓縮映射定理，推廣了文獻[2]的結果。 2006 年, 作為對度量空間的推廣, MUSTAFA 等[7]引入G-度量空間；文獻[8]進一步推廣了弱壓縮映射，證明了G-度量空間滿足(ψ,?)弱壓縮的不動點定理。 2007 年, SEDGHI等[9]提出D*-度量空間的概念, 給出了D*-度量空間的一些相關性質, 并在該空間研究了不動點定理。此后,很多研究者開始研究D*-度量空間的各種不動點問題。 文獻[10-11]研究了D*-度量空間中弱相容映射的不動點問題；關于D*-度量空間中的不動點定理可參看文獻[12-14]。 本文將廣義弱壓縮映射推廣至D*-度量空間, 借助D*-度量空間的相關性質證明了完備D*-度量空間中滿足廣義弱壓縮映射的不動點問題, 給出了幾個不動點定理, 推廣了文獻[3]的結果。

1 預備知識

定義1[9]設X是非空集合, 映射D*:X3→[0,∞)滿足條件(?x,y,z,a∈X)：

(1)D*(x,y,z) ≥0;

(2)D*(x,y,z) =0?x=y=z;

(3)D*(x,y,z) =D*(x,z,y) =D*(z,x,y);

(4)D*(x,y,z) ≤D*(x,y,a) +D*(a,z,z)。

則稱(X,D*)為D*-度量空間。

定義 2[9]設(X,D*) 為D*- 度量空間,{xn} ?X, 則有

(1)序列{xn}收斂于x∈X當且僅當

即 ?ε＞0, ?n0∈Ν, 使 得 當n≥n0時 ，有D*(x,x,xn) ＜ε。

(2) 稱序 列{xn}為Cauchy 列 是指?ε＞0, 存 在n0∈Ν, 使得當m,n≥n0時，有D*(xn,xn,xm)＜ε。

(3) 若(X,D*)中的每個Cauchy 列在X中都是收斂的, 則稱空間(X,D*)是完備的。

引理1[9]設(X,D*) 為D*- 度量空間, 則D*(x,x,y) =D*(x,y,y)。

定義3[9]設(X,D*) 為D*- 度量空間, 若D*(xn,yn,zn)=D*(x,y,z), 則 稱D*是X3上 的連續(xù)函數。 其中，X3上的序列{(xn,yn,zn)}收斂于(x,y,z) ∈X3, 即

引理2[9]設(X,D*)為D*-度量空間, 則D*是X3上的連續(xù)函數。

引理 3[9]設(X,D*) 為D*- 度量空間,{xn} ?X, 若{xn}收斂于x∈X, 則x是唯一的。

引理 4[9]設(X,D*) 為D*- 度量空間,{xn} ?X, 若 {xn} 收 斂 于x∈X, 則 {xn} 是Cauchy 列。

定義4[1]設(X,d)是度量空間, 稱映射T:X→X為弱壓縮映射, 若對?x,y∈X, 均有

其 中，?:[0,∞)→[0,∞) 是 非 減 的 連 續(xù) 函 數 且?(t)=0 ?t=0。

定義5設(X,D*) 是D*-度量空間, 若對?x,y,z∈X, 均有

則稱映射T:X→X為弱壓縮映射。

定義6[15]距離控制函數ψ:[0,∞)→[0,∞)滿足以下性質:

(1)ψ是連續(xù)的；

(2)ψ是單調不減的；

(3)ψ(t) =0 ?t=0。

用Ψ 表示函數族ψ，用Φ 表示函數族?，且滿足:

DUTTA 等[3]給出了以下定理，推廣了弱壓縮映射。

定理1[3]設 (X,d)是完備的度量空間,T:X→X, 若對?x,y∈X，有

則T在X中存在唯一不動點。

2 主要結果

定理2設(X,D*)是完備的D*-度量空間T:X→X上的映射, 若對?x,y,z∈X,有

則T在X中存在唯一不動點。

證 明取x0∈X, 則 存 在x1∈X, 使 得x1=Tx0, 存在x2∈X, 使得x2=Tx1, …。 定義序列{xn}:xn+1=Txn(n=0,1,2,…)。則由式(1)可得

不等式兩邊同時取極限, 則由D*-度量空間的連續(xù)性得

由ψ和?的性質知,?(d) =0, 因此d=0。故

下證{xn}是Cauchy 列。

假設{xn}不是Cauchy 列, 則當ε＞0 時, 存在2個 子 序 列{xn(k)} 和{xm(k)}，且m(k) ＞n(k) ≥k,使得

因D*(xn,xn,xn+1)=0, 上 式 兩 邊 同 時 取 極 限，可得

令k→∞, 由ψ和?的連續(xù)性及D*-度量空間的連續(xù)性，有

則?(ε) =0,ε=0 與 已 知 條 件ε＞0 相 矛 盾。 故{xn}是Cauchy 列。

因(X,D*)是完備的度量空間, 則?x∈X, 使得xn→x(n→∞)，

令n→∞, 由ψ和?的連續(xù)性及D*-度量空間的連續(xù)性,得

則D*(x,x,Tx) =0。 故Tx=x, 因此x是T的不動點。

下證不動點的唯一性。

不妨設?y∈X, 使得Ty=y且y≠x,

又x≠y,則

顯然矛盾, 故x=y,x是T的唯一不動點。

證畢！

例1設X= [0,∞), 定義在X上的D*-度量空間為

則(X,D*)是完備的度量空間。

證 明定 義T:X→X為Tx=,取?(t) =,ψ(t) =t，有

即定理2 的所有條件都滿足。 由定理2 可知，T有不動點, 且0 為其不動點。

證畢！

推論1設(X,D*)是完備的D*-度量空間T:X→X上的弱壓縮映射, 則T在X中存在唯一不動點。

推論2設(X,D*)是完備的D*-度量空間T:X→X上的映射,若對?x,y,z∈X,有

則T在X中存在唯一不動點。

證明由定理2 知，Tm有唯一不動點, 假設x是Tm的不動點, 則Tm x=x。從而

即Tx也是Tm的不動點。 由不動點的唯一性知,Tx=x。

故結論成立。

定理3設(X,D*)是完備的D*-度量空間T:X→X上的映射, 若對?x,y,z∈X,有

則T在X中存在唯一不動點。

證 明取x0∈X, 則 存 在x1∈X, 使 得x1=Tx0, 存在x2∈X, 使得x2=Tx1,…。 可定義序列{xn}為xn+1=Txn(n=0,1,2,…)。

當xn+1=xn時, 即xn+1=Txn=xn, 則xn是T的不動點。不失一般性, 假設xn+1≠xn，則由式(2)可得

由距離控制函數ψ的性質得

可知{D*(xn,xn,xn+1)} 是遞減的, 記其極限為d≥0。

不等式兩邊同時取極限, 由D*-度量空間的連續(xù)性，得

由ψ和?的 性 質 知,?(d) =0, 因 此d=0。

故*(xn,xn,xn+1)=0。

下證{xn}是Cauchy 列。

假 設{xn}不 是Cauchy 列, 則當ε＞0 時，存在2個 子 序 列{xn(k)} 和{xm(k)}，且m(k) ＞n(k) ≥k,使得。=。

在 上 式中，令k→∞, 則 由ψ和?的連 續(xù) 性 及D*-度量空間的連續(xù)性,得

因此?(ε) =0,ε=0 與假設條件ε＞0 矛盾，故{xn}是Cauchy 列。

由 空 間(X,D*) 的 完 備 性 知, ?x∈X, 使 得xn→x(n→∞)。

下證x是T的不動點。

由于D*-度量空間關于3 個變量是連續(xù)的, 故

下證不動點的唯一性。

不妨設存在y∈X, 使得Ty=y且y≠x，有

顯然矛盾, 故x=y, 因此x是T的唯一不動點。

證畢！

例2設X= [0,∞), 定義在X上的D*-度量空間為

則(X,D*)是完備的度量空間。

即滿足定理3 的所有條件。 故由定理3 知,T有不動點。

證畢！

推論3設(X,D*)是完備的D*-度量空間T:X→X上 的 映 射 , 若 對 ?x,y,z∈X, 有D*(Tx,Ty,Tz) ≤max {D*(x,y,z),D*(x,Tx,z),

則T在X中存在唯一不動點。

證明取定理3 中的ψ為恒等映射, 易證得結論成立。