一類分?jǐn)?shù)階p（x）-拉普拉斯方程的多重解

張申貴

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730030）

近年來,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究已成為熱點(diǎn)研究課題[1-8]。 本文考慮分?jǐn)?shù)階p(x)-拉普拉斯方程Dirichlet 的邊值問題：

設(shè)0 ＜s＜1，分 數(shù) 階p(x)-拉 普 拉 斯 算 子 定義為

對(duì)比文獻(xiàn)[1-8]中的結(jié)果, 問題(1)具有以下特點(diǎn):

首先, 方程帶有變指數(shù)算子, 即分?jǐn)?shù)階p(x)-拉普拉斯算子。此類算子具有較強(qiáng)的非線性, 帶有變指數(shù)算子的微分方程來源于非線性彈性力學(xué), 該模型 可 以 刻 畫“ 逐 點(diǎn) 異 性”的 物 理 現(xiàn) 象[9]。 當(dāng)p(x,y)≡2 時(shí), (-Δ)退化為經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子, 該算子可應(yīng)用于如物質(zhì)的相變過程等領(lǐng)域。

另外, 方程帶有非局部系數(shù)a+bψ(u), 使得問題(1)中的方程不再是一個(gè)逐點(diǎn)成立的等式, 此類問題常被稱為非局部問題或Kirchhoff 型方程。最近,帶有變指數(shù)算子的分?jǐn)?shù)階微分方程備受關(guān)注, 文獻(xiàn)[10]利用拓?fù)涠壤碚摵筒粍?dòng)點(diǎn)方法，得到了一類變指數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解存在的充分條件；文獻(xiàn)[11]建立了比較定理, 運(yùn)用上下解并結(jié)合單調(diào)迭代的方法, 討論了分?jǐn)?shù)階p(x)-拉普拉斯邊值問題的可解性。

本文利用變分方法研究問題(1)多重解的存在性。首先, 將問題(1)的解轉(zhuǎn)化為定義在分?jǐn)?shù)階變指數(shù)Sobolev 空間W0上一個(gè)泛函的臨界點(diǎn)，當(dāng)非線性項(xiàng)在零點(diǎn)處次線性增長(zhǎng)時(shí)，再利用文獻(xiàn)[12]的Clark型定理，得到能量泛函多重臨界點(diǎn)存在的充分條件, 從而得到問題(1)多重解的存在性定理。 然后,當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處局部超線性增長(zhǎng)時(shí), 由文獻(xiàn)[13]的臨界點(diǎn)定理, 得到問題(1)至少存在2 個(gè)非平凡解的充分條件。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

變指數(shù)分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間的性質(zhì)參見文獻(xiàn)[14-15]。

設(shè)q(x):→R 連續(xù)，1＜q(x)＜N，且

當(dāng)x∈時(shí)，q(x)＞p(x,x)；當(dāng)(x,y) ∈時(shí)，N＞sp(x,y)。

記變指數(shù)Lebesgue 空間為

記變指數(shù)分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間為

記W0為在W中的閉包，則W0為自反可分的Banach 空間, 范數(shù)為‖u‖=[u]s,p(x,y)。

引理1[14]記

則下列性質(zhì)成立:

如果當(dāng)+∞時(shí)，在空間W0中un弱收斂于u，且〈J(un)-J(u),un-u〉=0，那 么un在 空 間W0中強(qiáng)收斂于u。

引 理3[15]設(shè) 當(dāng)x∈時(shí)，q(x)＞p(x,x)；當(dāng)(x,y) ∈時(shí)，N＞sp(x,y)。若存 在連續(xù)函數(shù)r(x)→(1,+∞)，0 ＜s＜1，使得

則W0緊嵌入Lr(x)(Ω), Ω 是RN中的有界區(qū)域。

引理4[12]設(shè)X為Banach 空間，泛函Φ是偶函數(shù), 滿足：Φ∈C1(X,R)，Φ(0)=0，且

（Ⅰ）Φ滿足(PS)條件，即對(duì)任何點(diǎn)列{un}?X，由{Φ(un)}有界，Φ′(un)→0（n→+∞），蘊(yùn)含{un}有收斂子列。

（Ⅱ）若對(duì)任意k∈N，存在X的k維子空間Yk和常數(shù)ρk＞0，使得 supΦ(u)＜0，其中，

則以下結(jié)論中至少有一個(gè)成立:

(i) 泛函Φ有臨界點(diǎn)序列{uk}，滿足Φ(uk)＜0，且當(dāng)k→+∞時(shí)→0。

(ii) 存在R＞0，使得對(duì)任意0 ＜a＜R，均存在臨界點(diǎn)u，使得‖ ‖

u=a，且Φ(u)=0。

引 理 5[12]設(shè)X為 Banach 空 間 ，泛 函Iλ∈C1(X,R)，且以下條件成立:

(i) 泛函Iλ滿足(PS)條件。

(ii) 泛函Iλ下方無界。

(iii) 記Iλ=Φ-λΨ，且Φ,Ψ∈C1(X,R)滿足：Φ下方有界，Φ(0)=Ψ(0)=0。給定r＞0，對(duì)每一則對(duì)于泛函Iλ至少有2 個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)。

2 主要結(jié)果及證明

在W0上定義能量泛函Iλ如下：

假設(shè):

定理1假設(shè)條件(F0)(F1)和(F2)成立，則對(duì)于?λ＞0，問 題(1)的 解{uk}k∈N滿 足 當(dāng)k→+∞時(shí)，有0。

注1當(dāng)p(x,y)=2 時(shí)，令則函數(shù)F滿足定理1 的條件, 但不滿足文獻(xiàn)[1-11]定理中的條件。

證明利用引理4 證明定理1。

記g:[0,+∞)→[0,1]為單調(diào)遞減的可微函數(shù), 對(duì)任意r＞0，滿足0 ≤g(t)≤1，t∈[0,+∞)。

則Φ∈C1(W0,R)，Φ為偶函數(shù)且Φ(0)=0。

易見，當(dāng)‖u‖≤，u∈W0是泛函Φ的臨界點(diǎn)，u∈W0也是泛函Iλ的臨界點(diǎn)，即問題(1)的解。

下面驗(yàn)證泛函Φ滿足引理4的條件（Ⅰ）和（Ⅱ）。

現(xiàn)證Φ滿足(PS)條件，即對(duì)任意{un}?W0，由Φ′(un)→0（n→+∞），{Φ(un)}有界，蘊(yùn)含{un}有收斂子列。

首先, 假設(shè){un}在W0中有界。若序列{un}在W0中 無 界，則 當(dāng)n→+∞時(shí)，‖ ‖u→+∞，故Φ(u)→+∞，這與{Φ(un)}有界矛盾。從而{un}在W0中有界。

注意到W0是自反的Banach 空間，則存在u∈W0，使 得{un}在W0中 弱 收 斂 于u，且{un}在Lβ(Ω)中強(qiáng)收斂于u，其中p-≤β＜p*(x)。

利用Ho?lder 不等式及條件(F0)，當(dāng)n→+∞時(shí)，

當(dāng)n→+∞時(shí)，有Φ′(un) →0，由 式(2)及a+bψ(u)＞0，可得

由引理2，{un}在W0中強(qiáng)收斂于u，故泛函Φ滿足(PS)條件。

現(xiàn)證Φ滿足條件（Ⅱ）。由于W0是可分自反的Banach 空間，則存在{ej}?W0，有

則W0=Zk⊕Yk，易見Yk為W0的k-維子空間。

由于dimYk＜+∞，由有限維空間范數(shù)的等價(jià)性知，存在c1＞0，c2＞0，使得

至此, 泛函Φ滿足引理4 的所有條件, 則泛函Φ的臨界點(diǎn)序列{uk}滿足Φ(uk)＜0，且當(dāng)k→+∞時(shí)→0。注意到當(dāng)‖uk‖時(shí),uk∈W0是 泛函Φ的臨界點(diǎn),uk∈W0也是泛函Iλ的臨界點(diǎn), 即問題(1)的解。因此, 問題(1)有無窮多解。

定理1 得證。

假設(shè)F滿足局部超線性條件：

(F3) 對(duì)任意給定的x∈Ω0，+∞，其中Ω0為有界區(qū)域Ω 的一個(gè)正測(cè)度子集，且存 在 函 數(shù)h∈L1(Ω)，對(duì) 所 有x∈Ω 和s∈R，有F(x,s)≥-h(x)。

(F4) 設(shè)μ＞2p+，L＞0，對(duì) 所 有x∈Ω 和|s|≥L,有μF(x,s)≤f(x,s)s。

定理2設(shè)條件(F0) (F3)和(F4)成立，則存在λ*＞0，對(duì) 每 一λ∈[0,λ*]，問 題(1)至 少 有2 個(gè) 非 平凡解。

注2取2p+＜μ＜2p++2，Ω=[0,1]令F(x,s)=g(x)|s|2p++2， 當(dāng)時(shí) ，g(x)=sin 2πx；當(dāng)，g(x)=0。則函數(shù)F滿足定理2 的條件, 但不滿足文獻(xiàn)[1-11]定理中的條件。

證明利用引理5 證明定理2。 首先，證明泛函Iλ滿 足(PS)條 件。由 條 件(F0)，對(duì) 所 有x∈Ω 和u∈R，有

結(jié)合條件(F0)(F4)和式(8)，對(duì)所有x∈Ω 和u∈R，有

然后，證明{un}在W0中有界。

不妨設(shè)‖ ‖un＞1，由式(9)～式(11)及引理1, 有

其中，μ＞2p+，p-＞1。式（12）表明

即{un}在W0中有界。類似于定理1 的證明，{un}在W0中有強(qiáng)收斂子列，故Iλ滿足(PS)條件。

接下來, 證明引理5 的條件(ii)。

由 條 件(F3)，對(duì)??＞0，存 在c6＞0，對(duì) 所 有x∈Ω0和u∈R，有

對(duì)于t＞1，v∈W0{0}，由(F3)和式(14)，有

最后, 證明引理5 的條件(iii)。

定理2 證畢！