短區間中整數及其逆的分布

趙艷，呂星星

（1.西安文理學院信息工程學院，陜西西安710068； 2.西北大學數學學院，陜西西安710127）

0 引 言

同余理論不僅極大豐富了初等數論的內容，而且推動了數論的發展。正因如此，不少學者對一些特殊整數的同余性質進行了研究，獲得了一系列漂亮的結果！例如，1640 年，Fermat 得到了著名的Fermat 小定理[1]:當p為素數時，對于任意的整數a，有同余式：

1760 年，Euler 進一步推廣 了Fermat 的結果，得到了著名的Euler 定理：設m≥2, (b,m) =1，則有同余式：

其中，φ(m)為Euler 函數，表示不超過m且與m互素的正整數的個數。

1770 年，Wilson 利用多項式的同余性質給出了一個包含階乘的同余式，也就是著名的Wilson 定理：若p為素數，則有同余式：

以上同余式在初等數論教材中都可以找見，也可參閱文獻[1]。

此外，1997 年，數學家VANHAMME[2]利用計算機得到與超幾何級數恒等式p-adic 相關的13 個同余式，涉及p-adic 伽馬函數，并給出了其中3 個同余式的證明，其中最典型的為

其中，p為奇素數。

值得一提的是，南京大學孫智偉教授及其團隊基于其所做的大量研究工作，提出了不少涉及同余式以及恒等式的猜想。例如，PAN 等[3]通過研究得到同余式：

ZHAO等[4]對Catalan數進行了研究，并證明了同余式：

DUAN 等[5]給出了Bernoulli 多項式的同余式：設m是非負整數，對任意整數h,均有

HOU 等[6]在研究Euler 函數和DirichletL-函數時得到了同余式：

相關研究很多，不再一一列舉，有興趣的讀者可以參閱文獻[7-13]。

2019 年9 月，浙江大學蔡天新教授在西北大學訪問期間所做的報告中提到一個新的同余式：

同時，他提出一個有意義的猜想：設p是一個奇素數，除p=3,5,7 及13 外，至少存在1 組整數1＜i,j＜，使 得 他 們 滿 足 同 余 式i?j≡1 modp,即μ(p)≥1。

筆者認為這一猜想屬于整數及其逆在素數p下的分布問題。確切地說，屬于短區間中整數及其逆在素數p下的分布問題。基于此問題，本文利用初等方法、三角和性質以及Kloosterman 和估計開展了研究，并用2 種不同的方法證明了上述猜想是正確的，即證明了以下2 個定理。

定理 1設p是一個奇素數，那么當p≠3,5,7,13 時，至少存在1＜j＜1＜使得j?-j≡1 modp。

定理2設p是一個奇素數，M是正整數且滿足1＜M＜p，則有漸近式：

顯然，定理1 和定理2 各有千秋，分別從不同角度刻畫了蔡天新的猜想。定理1 證明了蔡天新的猜想，但只給出猜想中正整數的存在性，并沒有說明正整數的數量。當p充分大時，定理2 給出了更短區間上μ(p)的漸近式，也就是說，此時猜想中的正整數不僅存在，而且有很多！因為對任意給定的正數ε，2 是一個非平凡的漸近式。受經典Kloosterman 和估計的限制，在定理2 中須規定M＞，此外，M的下界可否進一步改進也是一個值得探討的問題！

1 定理的證明

本節證明中用到的初等數論相關知識可參閱文獻[1]，此處不再贅述。首先利用初等方法證明定理1。

對于任意奇素數p，顯然有p=4n+3 或p=4n+1。下面分別討論此2 種情況：

（II）當p=4n+1 時，可將n用5 的完全剩余類分為以下5 種情況：

（i）當p=20n+1 時，設n=l?2h，h≥0,l為 奇數，此時有

注意到5l(2k-1) +1 為偶數，所以有

（ii）當p=20n+5 時，p為素數，此時只有n=0,p=5，經檢驗不存在1≤j,-j≤2 使得

于是假設n≥1，注意到

綜合以上5 種情況，定理1 得證。

下面利用三角和性質以及Kloosterman 和估計證明定理2。

對任意整數n，有三角恒等式:

及Kloosterman 和 估計[14-15]：

其 中，e(y) =e2πiy,(m,n,p)表 示 整數m,n,p的 最 大公約數。

設N(M,p)為區間[1,M]內滿足1＜M及≡1 modp的j的個數，則由式（1），可得

定理2 得證。