揀分條件，循路而行

姚擎宇

【摘 要】在解決數學問題時，由于題設條件的多樣性、隱蔽性和復雜性，往往使得許多同學百思不解，經常找不到順利解答的切入點，亦或是缺乏思維的連貫性，在練習或考試中寸步難行。本文通過對一道中考復習題的解答分析，談談關于一類解析幾何問題，在處理過程中形成的經驗性運用。

【關鍵詞】長度;坐標;解析式;幾何模型;切入點

一、原題呈現

在平面直角坐標系中，A點坐標（0，4），點坐標（-3，0），在直線y=x+6上找一點 P，使得△ABP構成直角三角形。求出所有滿足要求的點P的坐標。

二、整體分析

本題源自中考專題復習，是典型的解析幾何問題，關注數學核心素養考查。解決問題經歷觀察、運算、建模等數學活動，可以抽象出一次函數、直角三角形、外接圓等基本幾何圖形，較好的考查了學生的構圖能力。在問題解決中能引導學生在基本的圖形中獲取信息，融合函數、方程、相似三角形等知識，經歷計算、推理等探究過程，從而考查了學生的幾何邏輯推理能力和代數建模能力。

作為初中數學代數部分中不可或缺的組成部分，解析幾何問題占了相當一部分比重。而學生之所以面對這類問題，常常感到無從下手，其根本原因在于不能對題設的條件進行合理歸類分揀，了解它們在解題過程中不可替代的作用。

從本質上說，解析幾何問題的條件設置必然包括四個基本要素，分別為：長度、坐標、解析式、幾何模型。其中，長度和坐標之間可以相互轉化;坐標和解析式之間具有迭代關系;幾何模型又需要依靠長度關系去體現。可以發現，這四個基本要素互相依托，共同維持了整個問題的內在聯系。

到此為止，我們已經把整個問題的各種情況、各種解答方法逐一整理了一遍。不難發現，對于解析幾何問題，首先需要清楚地了解它們的公有條件，亦即四個基本要素：長度、坐標、解析式+幾何模型。一般說來，我們往往有以下兩種思路：（如圖二）

方法一：用幾何模型設長度→用長度寫關鍵點坐標→將坐標代入解析式。

方法二：用解析式設點坐標→用坐標寫模型內長度→用長度套幾何模型。

從兩種思考方向的互相比較上來說，方法一在解題思路的形成、方程的建立與解答上總是優于方法二;而方法二對于問題討論的多種可能解的不重不漏性優于方法一。

在具體解答的過程中，需要找準合適的切入點，才能找到合適的解題捷徑。大多數情況下，兩種思考方向都能順利打通從條件到結論之間的重重阻隔，但由于題設的更改、數據的限定等等因素，有時候也可能只有一種思路是可行的。這就需要我們反復思考、對比論證、發現問題、有的放矢，才能真正達到融會貫通，成竹在胸。

三、結束語

對于數學學科的解題教學，萬不可滿足于淺嘗輒止，多思才能多解。只有知識廣而深、技巧強而新、方法多而活，在遇到具體問題時才能做到隨機應變、快速求解。同時，保持對題目解答的回顧思考、對比發現、總結規律、形成經驗，感受了解數學解題萬變不離其宗的本質內涵，必將對個人的成長大有裨益。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.數學課程標準[M].北京師范大學出版集團，2011

[2]郭思樂，喻偉.數學思維教育論[M].上海教育出版社，2007

（浙江省湖州市弁南中學）