結構力學中位移法與力矩分配法的關系分析★

姚展環 楊 威 馮章標 凌志丹 農妍妹

(北部灣大學建筑工程學院，廣西 欽州 535011)

0 引言

目前，計算超靜定結構的精確方法主要是位移法，位移法的思想是法國的納維于1826年提出的，其基本未知量包括節點的角位移和獨立節點的線位移。但現實中大多數為多層多跨的結構體系，有多個未知量，需要列多個位移法方程來求解。H.克羅斯于1930年在位移法的基礎上，提出了不必解方程組而是逐次逼近的力矩分配法，大大地減輕了工程的計算工作。位移法和力矩分配法的共性和特性給我們提供了一個建立二者關系的視角。兩者都需借助不平衡力矩以及查詢形常數表和載常數表來獲取形常數載常數來計算結構內力。但兩者性質不同，位移法是精確解法，是以節點的角位移和獨立節點的線位移作為基本未知量。而力矩分配法是近似解法，主要是通過對剛節點施加阻止轉動的約束得到各固端彎矩，并分配傳遞至各剛結點平衡。

通過研究位移法的計算過程，引入曲率半徑、轉動剛度、分配系數和傳遞系數將位移法求解過程中的方程消除，從而得到不必解算聯立方程的近似解法——力矩分配法。本文將以例題展開討論位移法和力矩分配法之間的關系。

1 位移法計算過程

位移法是以結構的結點位移為基本未知量；以結點和截面的平衡方程為基本方程，據以求出結點位移；最后求出結構的內力。其最大的特點在于：位移法的思路是先通過加入附加聯系固定所有獨立結點位移，此時各附加聯系上將產生附加反力(不平衡反力)，為消除這些附加反力，同時放松各結點(即同時取消所有附加聯系)，從而同時消除各附加聯系上的附加反力。若附加聯系不止一個，則必須求解聯立的位移法典型方程[3]。

例題：用位移法計算如圖1所示連續梁的彎矩。

1)基本體系(見圖2)：

2)位移法方程：

k11Δ1+F1P=0

(1)

其中，Δ1為連續梁結點B角位移；k11為基本結構在單位轉角Δ1=1作用下在附加約束中的約束力矩；F1P為基本結構在荷載作用下在附加約束中的約束力矩。

3)計算k11,F1P(見圖3～圖6)：

由結點B的力矩平衡可得：

∑MB=0，k11=3i+3i=6i

(2)

由結點B的力矩平衡可得：

∑MB=0，F1P=ql2/8

(3)

4)計算Δ1:

Δ1=-F1P/k11=-ql2/48i

(4)

5)作M圖(如圖7所示)：由彎矩的疊加原理：

(5)

MBA=3i×(-ql2/48i)+ql2/8=ql2/16

(6)

MBC=3i×(-ql2/48i)=-ql2/16

(7)

其中，MBA為AB桿的B端彎矩；MBC為BC桿的B端彎矩。

2 力矩分配法計算過程

力矩分配法的求解思路則有所不同，第一步先約束所有獨立結點角位移，得到基本結構，顯然各結點將產生不平衡力矩。為了使基本結構轉化為原結構，必須消除各結點不平衡力矩(因為原結構中不存在這些不平衡力矩)[3]。

由例題，

1)先在B結點加上阻止轉動的約束(見圖8)：

(8)

2)松開結點B：

相當于結點B施加一個力偶荷載-ql2/8。

轉動剛度：

SBA=3iBA=3i

(9)

BBC=3iBC=3i

(10)

其中，SBA為AB桿B端的轉動剛度；SBC為BC桿B端的轉動剛度。

分配系數：

μBA=SBA/(SBA+SBC)=3i/(3i+3i)=0.5

(11)

μBC=SBC/(SBA+SBC)=3i/(3i+3i)=0.5

(12)

其中，μBA為AB桿在B端的分配系數;μBC為BC桿在B端的分配系數。

∑μ=μBA+μBC=1

(13)

分配彎矩：

(14)

(15)

傳遞彎矩均為0。

即：

(16)

(17)

∑MB=ql2/16-ql2/16=0

(18)

3 位移法與力矩分配法關系分析

位移法與力矩分配法均運用了不平衡力矩，都借助不平衡力矩來計算結構內力。兩者都需要查詢形常數和載常數表來獲取形常數載常數以便計算。

由式(2)，圖4可知：

k11=∑i

(19)

由式(3)，圖6可知：

F1P=-M

(20)

由式(4)，式(19)，式(20)得：

Δ1=-F1P/K11=M/∑i

(21)

(22)

由式(21)，式(22)可得：

(23)

由曲率K表示單位弧段上切線轉過角度的大小作如下定義：

K=Δα/Δs

(24)

其中，K為桿件中性層的曲率；Δα為轉角增量;Δs為弧長增量。

由曲率與曲率半徑的互為倒數的關系有：

K=1/ρ

(25)

其中，ρ為桿件中性層的曲率半徑。

由式(24)，式(25)得：

1/ρ=Δα/Δs

(26)

或：

Δα=Δs/ρ

(27)

由轉動剛度S為單位轉角所需的力矩作如下定義：

S=M/Δα

(28)

由桿件的彎矩：

M=EI/ρ

(29)

其中，E為材料的彈性模量；I為桿件截面的慣性矩。

由式(27)～式(29)得：

S=M/Δα=(EI/ρ)/(Δs/ρ)=EI/Δs

(30)

由可變形固體的小變形假設由Δs≈1，因此得：

S=EI/Δs≈EI/l=i

(31)

由力矩分配系數μ為同一剛結點上的某一根桿的轉動剛度與所有桿的轉動剛度和的比值，作如下定義：

μ=Si/∑Si=ii/∑i

(32)

由式(23)得分配彎矩：

(33)

對于等截面桿件，由于均勻性假設與影響線，可知同一桿件彎矩變化為線性變化，由相似原理，與傳遞系數C表示當桿件近端產生轉角時，桿件遠端彎矩與近端彎矩的比值作如下定義，即：

得：

(34)

因為位移法中荷載在基本結構中相應截面上所產生的彎矩MP與力矩分配法中在節點加上阻止轉動的約束后由荷載產生的固端彎矩MF均由等截面直桿的載常數可查得，即：

MP=MF

(35)

由式(33)，式(35)：

(36)

其中，M′為遠端或近端的分配彎矩。

故位移法與力矩分配法的計算結果相同。

對于多結點的體系，由于其處于平衡狀態，即每個結點的內力與外力合力為0，所以當結點合力不近似于0時，不為0的合力矩繼續傳遞直至結點合外力近似等于0。最終累加各桿端所得的分配彎矩可得各桿端彎矩。

4 結語

位移法是通過平衡條件建立位移法方程，取隔離體來計算不平衡力矩。而力矩分配法是在位移法的基礎上引入曲率半徑、轉動剛度、分配系數與傳遞系數將位移法求解過程中的方程消除，所以力矩分配法不需要列方程，只需按照分配系數來分配不平衡力矩，但計算過程相對繁雜，需要很強的細心及耐心。

致謝：本文是在蔣瓊明博士的指導下完成的，在此表示深深的感謝。