非仿射純反饋非線性切換系統自適應控制

陳龍勝，王 琦，何國毅

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063)

切換系統是一種應用廣泛的特殊混雜系統，具有明確的工程背景和廣泛的應用前景.不確定非線性切換系統的控制和穩定性問題是當前研究的熱點.近年來，學者們熱衷于利用通用逼近器和反演法解決含未知非線性函數的不確定非線性切換系統自適應控制問題，并采用共同Lyapunov函數和平均/最小駐留時間以及多Lyapunov函數法分析閉環系統的穩定性.司文杰等[1-3]基于共同Lyapunov函數為一類非線性切換系統設計了自適應神經網絡/模糊控制器.Zhai等[4-5]在滿足平均/最小駐留時間的前提下，為一類非線性切換系統設計了自適應模糊控制器.Long等[6-7]采用模糊系統逼近系統中的未知非線性函數，并基于多Lyapunov函數分析法為一類非線性切換系統設計了自適應切換控制器.但是，這些基于反演法的設計控制策略存在“微分爆炸”問題.Swaroop等[8]首次通過引入一階低通濾波器，即動態面控制(Dynamic Surface Control,DSC) 技術解決 “微分爆炸”問題.然后，一些針對非線性切換系統的DSC控制策略相繼被提出.Zhai等[9]利用模糊邏輯逼近系統的未知不確定非線性特性，并在滿足平均/最小駐留時間的前提下為一類非線性切換系統設計了自適應DSC控制器.Zhai等[10]基于共同Lyapunov函數為非線性切換系統設計了自適應模糊DSC控制器.盡管DSC控制技術已被應用于非線性切換系統，但大多數研究仍針對嚴反饋型非線性系統，目前關于非仿射純反饋非線性切換系統的DCS控制研究成果較少.

針對一類結構和參數均未知的非仿射純反饋非線性切換系統，設計在任意切換下的自適應跟蹤控制器.在控制器的設計中，利用徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function Neural Network,RBFNN)和Nussbaum函數處理未知非線性動態問題，且RBFNN采用單一自適應更新率.所設計的控制器既可以滿足系統非線性特性和控制方向未知以及系統切換的需求，又可以避免神經網絡徑向基函數的大量運算.引入低通濾波器解決反演設計的“微分爆炸”問題，從而進一步減少計算負荷.此外，基于共同Lyapunov函數設計狀態反饋控制器并分析閉環系統的穩定性，避免了切換發生時控制參數跳變和調節參數過多的問題.

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮如下非仿射純反饋非線性切換系統：

(1)

(2)

控制目標：在任意切換模式下，通過設計自適應控制器使得系統的輸出能夠跟蹤期望軌跡yr(t)，且保證閉環系統所有的信號有界.為便于控制器設計，引入如下假設、定義和引理.

其中：i=1,2,…,n.

假設2[11]yr(t)光滑有界且具有二階連續有界導數，即存在常數B0>0使得

定義1[12]如果連續函數N(χ):R→R滿足

(3)

則稱N(χ)為Nussbaum函數.本文采用的Nussbaum函數為N(χ)=χ2cosχ.

引理2[13]設V(·)和χj(·) (j=1,2,…,m)是定義在[0,tf)上的光滑函數,且滿足?t∈[0,tf),V(t)≥0.N(χj)為一個光滑的Nussbaum函數,對?t∈[0,tf),若存在

(4)

引理3[14]對于tf>0,若閉環系統的解在[0,tf)內有界,則tf=∞.

引理4(楊氏不等式)[11]對任意的(a,b)∈R2，如果實數γ,c,d且滿足h>0,c>1,d>1,(c-1)(d-1)=1，那么

(5)

1.2 RBFNN

RBFNN在控制器的設計過程中被廣泛用于逼近系統的未知非線性函數.設存在連續函數F(Z):Rp→R，在緊集ΩZ∈Rp和任意值ε>0的條件下，有神經網絡?Tψ(Z)使得Sup|F(Z)-?Tψ(Z)|≤ε，其中?∈R為神經網絡的權值，>0為神經網絡隱含層節點數.Z∈Rp為神經網絡輸入，ψ(Z)=為徑向基函數.基于神經網絡的任意逼近原理，F(Z)可被逼近為

F(Z)=?*Tψ(Z)+ε(Z)

(6)

式中：ε(Z)為逼近誤差；?*為理想權值向量，且

(7)

2 控制器設計及穩定性分析

基于RBFNN和Nussbaum函數為系統設計自適應反演切換控制器，并基于共同Lyapunov函數分析閉環系統的穩定性.

2.1 控制器設計

根據式(2)和RBFNN可進一步將系統(1)描述為

(8)

(9)

式中：i=1,2,…,n；b>0為待設計的參數.

為進行反演設計，通常需定義如下的坐標變換

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：i=1,2,…,n-1；μi>0為時間常數.

根據定義的坐標變換，可為系統(1)設計如下控制律

(14)

式中：i=1,2,…,n-1；κi>0,γi>0為設計常數.其參數調節律為

(15)

式中：i=1,2,…,n；π>0,λ>0為設計常數.

2.2 穩定性分析

為了對由控制律和參數調節律組成的閉環系統進行穩定性分析，提出如下定理.

定理考慮系統(1)，在滿足假設1和2的前提下，采用控制律式(14)和參數調節律式 (15)，則可保證閉環系統所有信號半全局一致有界，且通過調整控制器參數使跟蹤誤差可收斂到原點的一個較小鄰域.

(16)

根據式(8)、(10)和 (11)可得

(17)

選取Lyapunov函數

(18)

則其對時間的導數為

(19)

將式(10)～(11)和 (14)～(17)代入式(19)可得

(20)

根據楊氏不等式、式(9)和假設2可得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：

(i=2,…,n-1);

式(27)兩邊同乘eC t可得

(28)

式(28)兩邊在[0,t]內的積分為

(29)

則有

(30)

根據式(18)和 (30)進一步可得

(31)

3 仿真試驗

考慮如下的結構和參數均未知的非仿射純反饋非線性切換系統

(32)

圖1 切換信號Fig.1 Switching signal

由圖2可知，系統的實際輸出能夠很好地跟蹤期望軌跡.由圖3可知，系統的跟蹤誤差能夠很快地收斂到原點的一個較小鄰域.由圖4可知，所有的自適應參數最終均能夠較快地收斂到常值附近.仿真結果表明：該控制器具有良好的跟蹤性能和穩定性.

圖2 系統輸出與期望軌跡Fig.2 System output and desired trajectory

圖3 跟蹤誤差曲線Fig.3 Tracking error

圖4 參數自適應更新率Fig.4 Update laws of parameters

4 結語

非線性切換系統是控制理論和工程領域的研究熱點.針對一類更具代表性的結構和參數均未知的非仿射純反饋非線性切換系統，利用中值定理將其等價轉化為類似嚴反饋形式的非線性系統.在此基礎上，利用RBFNN在線逼近系統的未知非線性函數，并利用Nussbaum 增益技術和低通濾波器分別解決系統控制增益未知的問題和反演設計的“微分爆炸”問題.最后，基于共同Lyapunov函數為系統設計狀態反饋控制器.所設計的控制器不依賴系統的具體模型，避免了切換發生時控制參數跳變和調節參數過多的問題，減少了計算負荷.