基于Wirtinger型積分不等式的線性時滯廣義系統穩定性準則

朱金梁，王 婷，李 濤

(1.南京林業大學 信息科學技術學院，南京 210037；2.南京航空航天大學 自動化學院，南京 211106)

相較于常規系統，廣義系統的形式和范疇更具代表性，能夠更有效地描述實際系統中各個狀態變量之間的關系，因此在機器人系統、金融系統、化工以及通訊等領域應用廣泛.同時，實際系統中的時滯現象不可避免且會降低系統性能，甚至導致系統不穩定.因此，研究時滯廣義系統的穩定性具有重要理論意義和應用前景.

目前，時滯系統穩定性的研究多基于Lyapunov穩定性定理的時域分析法，該方法主要利用時滯信息進行有效泛函構造并估計其上界，進而獲得判定系統穩定的充分條件.如何獲得盡可能大的時滯容許上界是當前時滯系統穩定性研究的熱點之一[1]，因此，許多學者提出Wirtinger型等積分不等式法[2-5]、凸組合技術[6-7]、自由權矩陣[8-10]和時滯區間分割法[11-12]等研究方法以充分降低結論的保守性.其中，針對時滯廣義系統穩定性，基于線性矩陣不等式得到了相應的時滯相關穩定性準則[13-20].雖然時滯廣義系統穩定性已得到廣泛深入的研究，但是尚未出現將時滯分割技術和新型積分不等式相結合以降低保守性的研究成果.對此，本文首先將時滯分成兩個子區間并構造多重積分下的Lyapunov泛函；然后借助Wirtinger型積分不等式估計泛函導函數更緊上界，獲得易于驗證且保守性較小的穩定性準則；最后借助數值算例證明方法的有效性.

1 系統和問題描述

考慮如下線性時滯廣義系統

(1)

式中：x(t)∈Rn為系統(1)的狀態；Rn為全體n維實數向量集合；t為時間；τ≥0為系統狀態時滯；E,A,Ad∈Rn×n為已知常數矩陣，且rank(E)=r≤n；φ(t)為系統(1)的初始狀態.

定義1[13]如果|sE-A|不恒為0，則(E,A)是正則的，如果deg(|sE-A|)=rank(E)，則(E,A)是無脈沖的.其中，deg(·)為行列式的最高階數.

為了便于建立主要結論，需要給出如下3個重要引理.

引理1[5]給定正定矩陣R，連續可微函數x(·)：[a,b]→Rn，則有

其中:

引理2[5]給定正定矩陣R，連續可微函數x(·)：[a,b]→Rn，則有

其中:

Ω1=x(b)-x(a)

引理3[5]給定正定矩陣R，連續可微函數x(·)：[a,b]→Rn，則有

其中:

2 漸近穩定性準則

為了簡化證明過程，給出如下記號：

K1=Ae1+Ade3

K4=τe4-4e6

K6=τe5-4e7

K8=e2-e3

K9=e2+e3-4e4

K11=e1-e2

K12=e1+e2-4e5

K14=e3-2e4

K16=e2-2e4

K18=e1-2e5

定理1給定τ>0，如果存在適當正定矩陣P,Q1,Q2,Ri(i=1，2,3，4),Si(i=1，2，3)和常數矩陣Z使得下式中的LMI(Λ負定)成立，則系統(1)漸近穩定，其中

(2)

證明基于時滯分割區間構造如下多重積分Lyapunov-Krasovskii泛函

V(x(t),t)=ηT(t)Pη(t)+

(3)

式中：

分別引入如下增廣向量和向量記號：

沿著系統(1)對泛函V(x(t),t)關于t求導

(4)

首先，利用引理1，對式(4)中的第1和2積分項進行估計

(5)

式中：

T1=τμ1(t),T2=τμ1(t)-4μ3(t)

T3=τμ1(t)-12μ3(t)+48τ-1μ5(t)

T4=τμ2(t),T5=τμ2(t)-4μ4(t)

T6=τμ2(t)-12μ4(t)+48τ-1μ6(t)

其次，利用引理2，對式(4)中的第3和4積分項進行估計

(6)

式中：

U1=x(t-0.5τ)-x(t-τ)

U2=x(t-0.5τ)+x(t-τ)-4μ1(t)

U3=U1+12μ1(t)-48τ-1μ3(t)

U4=x(t)-x(t-0.5τ)

U5=x(t)+x(t-0.5τ)-4μ2(t)

U6=U4+12μ2(t)-48τ-1μ4(t)

最后，利用引理3，對式(4)中第5～7積分項進行估計

(7)

式中：

V1=x(t-τ)-2μ1(t)

V2=x(t-τ)-8μ1(t)+24τ-1μ3(t)

V3=x(t-0.5τ)-2μ1(t)

V4=x(t-0.5τ)+4μ1(t)-24τ-1μ3(t)

V5=x(t)-2μ2(t)

V6=x(t)+4μ2(t)-24τ-1μ4(t)

根據系統(1)和ETL=0，有

2xT(t)ZLT(Ax(t)+Adx(t-τ))

(8)

(9)

當E為單位矩陣時，即rank(E)=n，則系統(1)由線性退化為常規時滯線性系統.基于定理1的證明過程，可以進一步得到如下推論.

推論1給定τ>0，如果存在適當正定矩陣P,Q1,Q2,Ri(i=1，2，3，4),Si(i=1，2，3)和常數矩陣Z使得下式中的LMI(Λ負定)成立，則系統(1)漸近穩定，其中

(10)

證明當E為單位矩陣時，根據定理1的證明方法并設定E=In(In為n×n維單位矩陣)，可直接獲得該推論，證明過程不再贅述.

根據獲得的定理1和推論1可知，將時滯分割法用于泛函構造中能夠充分利用分割后各時滯子區間的信息.同時，利用Wirtinger型積分不等式估計出泛函導函數更緊上界，能夠考慮到現有研究忽略的信息，因此本文方法的適用范圍更大.

3 數值算例

例1為了說明定理1具有較小的保守性，考慮文獻[15-17]使用的算例，系統參數為

因為Ad中包含未知參數c，所以在求解定理1中的LMI時，需要提前設定c的取值.基于設定的不同c值，利用MATLAB的LMI工具箱對式(2)中的LMI進行求解以獲得相應的最大時滯容許上界(τmax).同時，與文獻[15-17]中的計算結果進行比較，結果如表1所示，其中N為時滯分割的區間數.由表1可知，τmax隨c值的增加而減小；與文獻[15-17]中的結果相比，定理1中的τmax值均較大，系統的適用范圍更廣，因此其具有較小保守性.此外，在c=1.2和τ=9.219 8的情況下，對系統狀態進行仿真，結果如圖1所示.圖1中系統狀態變量x1和x2漸近穩定，證明了定理1的有效性.

表1 不同c值下的最大時滯容許上界值Tab.1 Maximum allowable upper bounds on time-delay at different values of c

圖1 系統狀態x1和x2的響應曲線Fig.1 Response curves of system in states x1 and x2

例2根據文獻[18]，對倒立擺的直流電機控制系統進行建模，獲得如下系統參數：

由上述參數可知，該系統為廣義系統.根據定理1并取τ=9.800 0，利用MATLAB的LMI工具箱對式(2)中的LMI進行求解，并驗證該LMI存在可行解.設定合適的初始狀態并利用MATLAB中的Simulink獲得系統仿真曲線(見圖2).圖2中系統狀態變量x1,x2和x3在t=2.6 s時達到穩定，說明了該方法具有一定的應用前景.

圖2 系統狀態x1～x3的響應曲線Fig.2 Response curves of system in states x1-x3

例3考慮具有如下參數的時滯線性系統：

由上述參數可知，該系統為常規時滯系統，因此可以借助推論1判定系統的穩定性.利用MATLAB的LMI工具箱對式(10)中的LMI進行求解，在存在可行解的前提下獲得的最大時滯容許上界為 2.898 5，同時將推論1與文獻[4,19,20]中的結果進行比較，結果如表2所示.與現有方法相比，推論1的τmax值均較大，其具有較小保守性.

表2 最大時滯容許上界值Tab.2 Maximum allowable upper bounds on time-delay

4 結語

針對時滯線性廣義系統漸近穩定性問題，利用新型時滯分割技術并提出多重積分下的Lyapunov泛函構造.同時，借助Wirtinger型積分不等式估計出泛函導函數中積分項更小上界，并充分考慮現有研究忽略的信息，進而基于LMI建立確保系統漸近穩定且保守性較小的充分條件.最后通過3個數值算例說明了方法的有效性和先進性.