淺談新課改下初中生“數形結合”思想的培養

姚德良

摘 要：數形結合，是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數學的規律性和靈活性的有機結合。

關鍵詞：數形結合;幾何意義;應用;觀察力

中圖分類號：G633.6????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2020）15-073-1

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，使代數問題與圖形之間相互轉化，也就是使代數問題幾何化，幾何問題代數化。簡言之，“數形結合”就是把數學中“數”和數學中“形”結合起來解決數學問題的一種數學思想。

一、重視數學概念的幾何意義的教學

數學中的很多概念都有一定的幾何意義，要培養學生數形結合的思想，就要善于挖掘數學概念的幾何意義。剛進入初中的學生在學習絕對值的概念時，教材對絕對值的幾何意義作了如下描述：“一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到原點的距離”。因此教師此時要有意識地重視講清：“|x|在數軸上表示數x所對應的點到原點的距離”。

例1：在數軸上表示a、b兩個實數的點的位置如圖所示，化簡|a-b|-|a+b|。

解決這個問題應從數軸上討論a，b的絕對值的大小，根據有理數加法、減法法則，從而確定a+b，a-b的符號。

通過認真講述數學概念的幾何意義，溝通數與形的本質聯系，不僅可以深化對數學概念的理解，而且還為提高學生解決問題的能力開辟了新途徑。所以從低年級起就要重視數學概念的幾何意義的教學，知難而進，培養興趣，持之以恒，將會有極大的收益。

二、重視數學的基本圖象在函數、三角上的應用

在初中階段，數形結合是一種重要的數學思想，它要求學生把抽象的數或式與直觀的“形”（幾何圖形）結合起來，達到使問題容易理解，思路易于把握的效果，華羅庚所說的“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，正說明了數形結合思想的重要性。

例2：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解為函數y=ax2+bx+c的圖象與常值函數y=0，即x軸的交點的橫坐標。那么當公共點有兩個時，對應的一元二次方程有兩個不相等的實數解;當公共點只有一個時，對應的一元二次方程有兩個相等的實數解;當沒有公共點時，對應的一元二次方程沒有實數解。

例3：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1與x軸的公共點A（1，0）。

③x2+1=0，沒有實數解，y=x2+1與x軸沒有公共點。

例4：如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經C地沿折線A—C—B行駛，現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果精確到0.1km）（參考數據：2≈1.41，3≈1.73）

解析：過點C作CD⊥AB，垂足為D。構造兩個有著公共邊的直角三角形。使得問題轉化到解直角三角形中的問題，

在Rt△CAD中，可求CD=5，AD=53。

在Rt△CBD中，可求BC=52，

∴AB=5+53，

∴AC+BC-AB=5+52-53≈3.4。

所以，隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走約3.4千米。

三、善用數形結合，培養學生的觀察力

數形要結合，關鍵在于能根據函數式（或方程）畫出圖形和根據代數式分析其表示的幾何意義。數學上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義，教學中引導學生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內在的本質地聯系，從而尋求解決問題的有效方法。

例5：在某一個圓上，我們考察同一個弧所對的圓心角和圓周角的關系。

教師可以在黑板上畫圖，引導學生進行觀察：

1.當圓周角的一邊與圓心角的一邊共線（或圓心在圓周角的一邊上）時，我們可以很快發現“圓周角是圓心角的一半”（見圖1）;

2.當圓心在圓周角內時，我們只要做一條輔助線（連接圓形和圓周角的頂點的直徑），再利用前面的結果又可發現“圓周角是圓心角的一半”（見圖2）;

3.當圓心在圓周角外時，做同樣的輔助線可以利用前面的結果得到“圓周角是圓心角的一半”（見圖3）。

我們從以上三個個別情形可以推得一般結論：“在任何情形下，同弧所對的圓周角是圓心角的一半”。

總之，數形結合是具體與抽象、感知與思維的結合，是發展形象思維與抽象思維一并使之相互轉化的有力“杠桿”。教師應在數學教學中盡量發掘“數”與“形”的本質聯系，借助數形結合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學生學會為會學，提高學生的數學素養，在數學教學中真正實現素質教育。

（作者單位：南京市江寧區周崗學校，江蘇 南京210000）