初高中數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的銜接

白曉曦 王超

初中和高中是學(xué)生獲取知識(shí)的關(guān)鍵時(shí)期，也是思維養(yǎng)成最重要的時(shí)間階段。高中即進(jìn)入了選拔階段，因此初高中的銜接是當(dāng)下師生共同面對(duì)的難題。很多學(xué)生初中成績(jī)很好，進(jìn)入高中雄心勃勃，但成績(jī)卻出現(xiàn)斷崖式下跌，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科最為嚴(yán)重，不僅為教學(xué)帶來困難，學(xué)生的信心也經(jīng)常受挫，甚至導(dǎo)致部分學(xué)生產(chǎn)生心理問題。產(chǎn)生這種現(xiàn)象最主要的原因是思維的接續(xù)性不好，部分學(xué)生通過初中學(xué)習(xí)養(yǎng)成的學(xué)習(xí)思維與高中的思維要求不適應(yīng)。

一、初高中數(shù)學(xué)知識(shí)亟待整合教學(xué)

初高中數(shù)學(xué)課程中有大量重疊的知識(shí)部分，例如初中九年級(jí)“銳角三角函數(shù)”部分和高中一年級(jí)的“三角恒等變形”“解三角形”等部分知識(shí)重疊度很高;再例如，初中的“二次函數(shù)”部分與高中的函數(shù)部分以及圓錐曲線部分聯(lián)系緊密，事實(shí)上已經(jīng)有很多地區(qū)的中考?jí)狠S題以高中圓錐曲線部分拋物線的性質(zhì)為背景設(shè)置問題。

解決了初高中數(shù)學(xué)銜接問題的好處有，第一，將數(shù)學(xué)知識(shí)作為一個(gè)整體呈現(xiàn)給學(xué)生，有助于建立學(xué)生對(duì)問題的整體理解。第二，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接對(duì)于學(xué)生進(jìn)入高中階段以后的學(xué)習(xí)有很大幫助，初高中對(duì)于同一知識(shí)的定義不同、側(cè)重點(diǎn)不同都會(huì)引起學(xué)生在進(jìn)入高中之后適應(yīng)問題。第三，初高中知識(shí)的銜接有助于學(xué)生對(duì)初中問題的深入理解，為學(xué)生應(yīng)對(duì)一些以高中知識(shí)為背景的中考?jí)狠S題做了知識(shí)和能力上的鋪墊。

致力于中學(xué)數(shù)學(xué)教育的張景中院士在著作《一線串通的初等數(shù)學(xué)》一書中曾對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)置提出質(zhì)疑，他認(rèn)為初中階段的三角函數(shù)安排過于靠后，而且內(nèi)容過于單一，只講銳角三角函數(shù)而不對(duì)角的概念進(jìn)行推廣，這樣的概念在高中階段變得毫無用處，一方面浪費(fèi)了學(xué)生的寶貴時(shí)間，另一方面到了高中階段學(xué)生再次接觸三角函數(shù)的定義時(shí)總會(huì)有初中階段的思維慣性在阻礙學(xué)習(xí)的進(jìn)程，導(dǎo)致學(xué)生會(huì)犯一些習(xí)慣性錯(cuò)誤。同時(shí)，這種對(duì)三角函數(shù)的設(shè)置影響了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的運(yùn)用，尤其初中幾何階段對(duì)于三角函數(shù)的運(yùn)用。三角法作為幾何計(jì)算的核心方法之一，在幾何問題的機(jī)器證明以及大學(xué)階段的數(shù)學(xué)分析中有重要應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)在初中學(xué)習(xí)幾何的時(shí)候訓(xùn)練到位，讓學(xué)生的幾何感覺豐富起來，也給一些平面幾何感覺欠缺的學(xué)生一個(gè)代數(shù)處理幾何問題的途徑，讓他們通過這條途徑接近幾何，建立幾何思維。

二、適合進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)銜接整合教學(xué)的知識(shí)模塊

初高中相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)很多，重點(diǎn)體現(xiàn)在三角函數(shù)、二次函數(shù)、方程思想等。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)關(guān)系的呈現(xiàn)，包括數(shù)值呈現(xiàn)和圖形呈現(xiàn)，其中滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想。因此對(duì)函數(shù)的初高中整合目標(biāo)是在函數(shù)的教學(xué)中滲透不同的數(shù)學(xué)思想，使這些數(shù)學(xué)思想貫穿初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此反復(fù)滲透數(shù)學(xué)思想，是整個(gè)初高中函數(shù)教學(xué)整合的關(guān)鍵。目前初中的二次函數(shù)教學(xué)強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)的幾何性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)其與四邊形、圓等幾何圖形之間的聯(lián)系，而函數(shù)思想在高中階段更加強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及由對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生出的函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，極值問題等等。初中和高中強(qiáng)調(diào)的問題不同，對(duì)同樣問題的側(cè)重點(diǎn)也不同，但是思想是共同的，初中的函數(shù)教學(xué)中可以對(duì)函數(shù)的性質(zhì)作更加深入的展開，對(duì)函數(shù)的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換進(jìn)行結(jié)構(gòu)，從而將高中的函數(shù)思想滲透進(jìn)去。

方程思想和函數(shù)思想一脈相承。初中階段的方程思想主要是圍繞一元二次方程根的存在性以及根與系數(shù)關(guān)系而展開的。高中階段的方程思想往往在解析幾何初步和圓錐曲線部分才得到體現(xiàn)，這種體現(xiàn)主要強(qiáng)調(diào)方程的根的幾何意義。事實(shí)上初高中的方程思想在很初期的階段就有可以聯(lián)系的共通的地方，例如一元二次方程根的分布問題和一元二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題本質(zhì)相同，在學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)零點(diǎn)問題的時(shí)候可以一邊作為復(fù)習(xí)，一邊將高中階段的更為一般的零點(diǎn)問題整合起來，一并呈現(xiàn)給學(xué)生。另一方面，在初中學(xué)方程的時(shí)候，就可以讓學(xué)生觀察一個(gè)二元一次方程或者二元二次方程的根之間的關(guān)系，學(xué)生就會(huì)更加自然的建立起方程的根與曲線之間的聯(lián)系。

三角函數(shù)是初高中數(shù)學(xué)整合的核心部分之一，是一個(gè)重要的貫穿初高中數(shù)學(xué)的模塊。筆者曾經(jīng)在東北育才學(xué)校超常教育實(shí)驗(yàn)部開展初高中三角函數(shù)教學(xué)整合課程，取得良好的效果。

初中階段對(duì)于函數(shù)的定義中沒有“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的概念。一些教師認(rèn)為，“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的講解應(yīng)該在集合部分的學(xué)習(xí)之后進(jìn)行，這樣邏輯上才能夠更加自然，但是對(duì)應(yīng)關(guān)系并不一定僅僅存在于集合之間，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，換元思想、數(shù)形結(jié)合思想都源自于“對(duì)應(yīng)”這種基本的數(shù)學(xué)思想。因此對(duì)于“對(duì)應(yīng)關(guān)系”這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)當(dāng)在初中接觸函數(shù)的時(shí)候就引入，讓學(xué)生不斷的去感知、熟悉，這樣在學(xué)生們進(jìn)入高中之后就能夠不感到陌生，甚至?xí)鲃?dòng)去探索將本質(zhì)上有關(guān)聯(lián)的不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系來，這樣的思維如果貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，會(huì)大大增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解以及對(duì)于數(shù)學(xué)技巧的解讀。

三、結(jié)語

將初高中數(shù)學(xué)相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及數(shù)學(xué)思想應(yīng)當(dāng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)性整合，對(duì)初中的教學(xué)進(jìn)行延伸，對(duì)高中的教學(xué)進(jìn)行下探，形成初高中數(shù)學(xué)思想一體，知識(shí)銜接的教學(xué)方式，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性，結(jié)構(gòu)的完整性，以及方法上的自然性。使得學(xué)生通過初高中思維的銜接，逐漸培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)由知識(shí)的堆積向方法的優(yōu)化轉(zhuǎn)變，有意識(shí)的將形象思維和邏輯思維進(jìn)行結(jié)合，有效適應(yīng)高中階段的學(xué)習(xí)方式的同時(shí)，自身思維體系也更加完備。

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（作者單位：1.沈陽(yáng)師范大學(xué)，遼寧 沈陽(yáng) 110000;2.沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校，遼寧 沈陽(yáng) 110000）