例談中考數學中的折疊問題

摘 要 圖形中的折疊問題是近幾年中考數學中每年必考的熱點問題之一，折疊問題的對象主要是正方形、矩形、直角三角形等，考察問題以求折點位置、求折線長、求重疊面積、求角度等為主。本文試圖結合實例談談中考數學中的折疊問題。

關鍵詞 對稱軸 折疊問題 中考數學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

折疊問題主要是考察中考數學中的軸對稱性質，其折線是對稱軸，折線兩邊對應圖形全等，并且對應點的連線被對稱軸所垂直平分，對應邊平行或其延長線的交點在對稱軸上。折疊問題的題型變化多樣，一般地，從考察學生的空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊問題的相關性質的證明計算題，發展到基于折疊問題的綜合應用題，乃至壓軸題。考察的目的日漸明確，主要是想考察學生的“四基”、“四能”中的空間想象能力和分析問題、解決問題的能力，所以分析總結中考數學中的折疊問題很有必要。

1利用折疊問題求折點位置

例1：在平面直角坐標系XOY中，點A在OX正半軸上，點B在OY正半軸上，∠AOB = 90埃琌A = 2，OB = 4，將該紙片OAB沿折痕EF折疊，使得點A與點B重合，設折痕EF交OB于F，交AB于E，試求點F的坐標。（湖南長沙中考題）

分析：充分利用折疊問題中對應點的連線段被折痕所垂直平分這一性質，可得BE=AE，BF=AF，然后利用勾股定理可得OF的長度，從而求出F的坐標。

解：連接AF，設OF=x，則有BF=AF=4Hax，于是在Rt%=OAF中，由勾股定理得

x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，從而有F點的坐標為（0，）

2利用折疊問題求折線長

例2：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB = 4，AD = 3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，點A對應BD上的點E，求EG的長為多少？（湖北荊州中考題）

分析：利用折疊問題中的折線兩邊對應的圖形全等這一性質將所要求的邊長轉化在同一個直角三角形中，再利用勾股定理即可求出需要求的折線長。

解：設AG = x，則利用折疊的性質可知GE = x，DE = 3并且有GB = 4Ha x，又因為AB = 4，AD = 3，所以BD = 5，BE = 5 Ha 3 = 2，那么在Rt%=BGE中，由勾股定理有x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，于是有EG = 。

3利用折疊問題求重疊面積

例3：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB = 4，AD = 2，將矩形紙片沿折痕EF折疊，使得點A與點C重合，求它們重疊部分三角形ECF的面積是多少？（山東淄博中考題）

分析：要求圖中重疊部分即三角形ECF的面積是多少，因為其高為2，所以即要求出其底邊FC即可，根據折疊的性質知四邊形AEFD與四邊形CEFG關于折痕EF對稱，所以它們全等，于是有DF = GF，AD = CG，再利用勾股定理即可求出FC的長度。

解：DF = x，則有FG = x，FC =4 Ha x，GC = AD = 2，∠G=∠D = 90埃栽赗t%=GCF中，由勾股定理可得x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，所以FC =4 Ha x =

故重疊部分三角形ECF的面積 =? ?2? 2= .

4利用折疊問題求其角度

例4、在直角三角形ABC中，∠ACB = 90埃螦 = 50埃珼為斜邊AB上一點，沿CD折疊，使得點A落在邊CB上的點E處，折痕為CD，則∠EDB = ？（浙江紹興中考題）

分析：由折疊圖形的性質可知三角形ACD與三角形ECD關于折痕CD所在的直線成軸對稱圖形，所以∠DEC = ∠A，進而轉化為三角形BDE的角的關系問題。

5結語

從以上中考數學的實例可以看出，圖形中的折疊問題實際上就是利用折疊的性質將相應的邊、角轉化在同一個三角形中，由于折疊問題的對象主要是正方形、矩形和直角三角形，所以轉化的這些邊、角往往是在一個直角三角形中，然后再利用勾股定理，即可求得所要求的邊長、折點的坐標、三角形的周長、角或者面積等等。事實上，折疊問題還有很多在相似圖形中的應用，這也是利用折疊圖形對應邊平行或者是對應邊的延長線的交點在其對稱軸上，總之折疊問題主要是要充分利用其性質，運用“轉化與化歸”的思想進行合理的轉化，然后就可使得所要求的問題迎韌而解。

作者簡介：胡益（1968.6-）女，漢，湖北武漢，本科，中學高級，研究方向：中學數學。