一元錢去哪了引發的數學思考

王歡

摘 要 一道簡單的數學題，一通貌似嚴謹的數學分析，加之一番嚴正的驗證，讓一個小問題“一元錢去哪了”讓人百思不得其解。本文從一個小學階段的數學小故事進行切入，依據和小伙伴們討論分析的四種理解思路進行驗證，對這個問題進行了深刻剖析并據此得出相應的結論。

關鍵詞 數學小故事 數學假象 避免錯誤

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

1問題提出

數學是我的最愛，我喜歡數學，喜歡數字，更加喜歡探究數學中的一些“問題”。你是否在學習數學的過程中，時常有這樣的疑惑，為什么很多表面看起來一點問題都沒有的計算，結果卻出人意料。還有一些過程紛亂復雜，步驟關聯交錯，解題毫無思緒，其結果卻往往很簡單。舉個例子詳細探究下這個問題。

曾經有這么一個數學小故事，三個客人去住一家旅店，三個人共住一間房，一晚上需要30元錢，每人給了服務生10元錢，但這天剛好碰上旅店特價銷售活動，只需要25元錢就可以開上一間房，所以老板將剩下的5元錢交給了服務生。讓其退還給那三個人，但服務生卻從中拿出2元錢放入了自己的口袋，剩下的3元錢還給了那3個人，一人1元。就是三個人每人分別給了9元錢住店，那就是3*9=27元，服務生偷拿了口袋里的2元錢，一共是27+2=29元，那還有1元錢去哪里了呢？咋眼看這個問題的時候，百思不得其解，每一步的計算沒有出錯，也沒有漏算任何一步，于是我開始去尋求大人的幫助，爸爸似乎看出了什么，但是不動神色，只說了一句，你可以和你的好朋友一起研究一下，于是我找到了我平日里要好的小伙伴們展開了一番激烈的討論。

2分析過程解析

數學的解題思路，其實是非常講究思路和步驟的，其中任何一步錯了，后面計算就算再精妙，也不可能得到最終想要的結果。首先讓我們把這個過程進行具體的步驟化，看能不能從這里面發現點什么。第一步：3個人每一個人支出了10元住店，總支出3x10=30元;第二步：老板一共收到了30元，總收入30元;第三步：老板退還了5元給服務生，30-25=5元;第四步：服務生拿到了這5元，打折費5元;第五步：服務生拿走了其中2元，剩余5-2=3元;第六步：客人每人拿到了1元，共計3*1=3元，總實際支出30-3=27元;第七步：客人綜合共支付了27元，這里面已經包含了服務生私下偷拿的2元。這個問題解析成七個步驟后，再來探究這個問題，經過我和幾個小伙伴的反復討論和計算，我們得出了以下四種計算方法。

方法一：三個客人在這個過程中一共支出了30-3=27元，其中老板這邊共得到了25元，服務生從中私下偷拿了2元，一共也是25+2=27元。住店一共消費了27元，老板得到住宿費是25元，加上服務生私下偷拿的2元，一共也是27元。這兩個算式是相等的。

方法二：假設我們把這30元住宿費都看作是30張一元的小額鈔票，把每一元錢都標注上第1張，第2張，第3張……以及第30張，那么就不難發現：住店一晚上需要25元，老板拿走了第1-25張的一元鈔票，老板退還給住店三人的5元，是其中第26張至第30張的一元鈔票，服務生拿走了其中的第26張和第27張一元鈔票，另外的第28張至第30張一元鈔票給了住店每人，整個過程，住店的三人拿出了30元，最后再看每個人手中的錢，店主有25張，服務生有2張，住店三人一人1張，一共是30張。交易的過程雖然把這30張鈔票分散開了，但30張鈔票也都還在，這兩個算式也是相等的。

方法三：假設每個人只需要支出8元就能住店，一共8*3=24元，而老板實際收取了25元住宿費，就意味著老板需要向這三個人退還這25-24=1元，服務生拿走了2元，另外三人每人被退還1元，可綜合這個過程和算式：老板退還1元，服務生偷拿了2元，合計1+2=3元;住店共支出了24元，共計3+24=27元;每人退還了1元，合計3*1=3元;綜合可得27+3=30元。整個交易前后一共30元也保持一致。

方法四：假設服務生沒有偷拿這2元，三個人每個人實際支出了9元住店，共支出了3*9=27元，老板只得到了25元住店費用，25元≠27元，這個結果與假設服務生沒有偷拿相矛盾，因此這個差額27-25=2元正是被服務生偷拿的。

從以上的四種計算方法來綜合分析，每一種的計算過程都沒有提及關于那1元錢的去向問題，但我們的算式依然能夠成立，也沒有任何的顯明破綻。那就意味著我們的計算過程沒有問題，可是為什么會出現這樣的結果呢？

這樣的結果是因為數學計算過程中時常存在這樣的一種假象，以上題中探究的“一元錢”正是本道題中隱含設置的假象問題，大家的關注點都是被這個數學假象所蒙蔽，這道題迷惑人的核心主要是把服務生偷拿的2元錢從住宿費27元錢當中分離了出來，原題的算法錯誤的認為店里服務生私自留下的2元并不包含在這27元當中，所以也就有了少1元錢的錯誤計算結果，而實際上私自留下的2元錢就包含在這住宿費27元當中，再加上老板要求退回活動打折費用，實際退回的3元錢，結果就正好是30元。

3結論

像這類迷惑解題者的數學假象問題還有很多，主要都是由其中一個小步驟開始引導解題者走進了一個錯誤的思路，從而得出謬誤的結果。這個小故事提醒我們在日后進行數學學習和數學分析研究的時候，不僅僅要依據數學的基本原理、嚴密計算過程進行解題，更要能夠結合每個問題的實際情況，清楚的辨析每一個步驟和每一個條件與主要問題之間的關系，反復進行推敲和驗證，進入錯誤的解題方向，得出貌似正確的數學結果，鬧出一番笑話。

參考文獻

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