辛約化下旋轉臂上擺系統相對平衡點的計算

張振興

摘 要：研究了旋轉臂上擺系統的辛約化問題，給出了辛約化下的相對平衡點及對應的約化系統的平衡點。

關鍵詞：旋轉臂上擺系統;辛約化;相對平衡點

一、背景介紹

旋轉臂上擺系統最初由[1]提出，它是一個帶有對稱的非線性的系統，并且其平衡點是非線性不穩定的。關于這個問題的研究基本上是利用基于Lagrange力學的方法來研究其平衡點穩定性問題和穩定化問題，如[2]。由于Lagrange力學本身的特性，這些研究不能充分利用系統的對稱性。因此我們從Hamilton力學的角度出發，利用[3]中給出的辛約化理論，利用對稱性研究其約化問題。

本文利用正則辛點約化定理給出了旋轉臂上擺系統的約化系統并證明了該約化系統具有兩個或者四個（根據約化時所選取動量映射的正則值的不同而不同）平衡點。

二、旋轉臂上擺系統的模型

旋轉臂上擺系統由一個平面擺及一個繞一豎直支撐桿旋轉的旋轉臂組成，擺的懸點在旋轉臂的頂端，懸點處有一質量M。擺所在的平面與長為R的旋轉臂正交。假設整個系統只受到重力的作用，忽略摩擦力的作用（參見[1][2]）。

系統的位形空間為，我們用作為其上的局部坐標，其中第一個因子θ表示擺與垂直向上方向的夾角，而第二個因子φ表示旋轉臂與某個固定垂直平面的夾角，如圖所示。此外，我們用作為動量相空間的局部坐標。系統的Hamilton函數 為

其中，

1.旋轉臂上擺系統相對平衡點的穩定化

旋轉臂上擺系統具有一個對稱性，也即關于豎直支撐桿的旋轉。我們希望能約化掉這個對稱性從而得到旋轉臂上擺系統的約化系統。

轉臂上擺系統的相空間上具有典則的辛形式。李群通過映射作用于Q上。我們有S1-作用是自由且恰當的。這一映射的余切提升為 。此作用也是自由恰當的并且容許一個-等變的動量映射，其中是的李代數，是g的對偶。對任意的，由是交換群，。由正則辛點約化定理，我們有約化辛空間為，其中，其上的局部坐標可用給出，約化辛形式為。

另一方面，我們有旋轉臂上擺系統的Hamillton函數是上述S1-作用不變的。于是我們可以定義相關的約化Hamilton函數為，也即

下面我們來計算約化旋轉臂上擺系統的平衡點。計算可知約化系統的平衡點是如下方程組的解：

（1）

由上述第一個方程我們得到，代入第二個方

程，有.于是有θ=0，π或θi，i=1，2，其

中θi，i=1，2是方程

（2）

的根.注意到如果，則方程無解;若，方程有唯一解0;如果，則方程有兩個不同的解，記之為θ1和θ2。

（1）約化旋轉臂上擺系統的總有兩個平衡點為

.

（2）當時，約化系統有另外兩個平衡點和 ，其中θ1和θ2是方程（2）的解，

（3）相應的，旋轉臂上擺系統的相對平衡點分別為

，

以及當時存在的相對平衡點和，其中，是[0，2π]內任意常數.

參考文獻：

[1] K.J.?str?m and K.Furuta，Swinging up a pendulum by energy control，IFAC 13（San Francisco），1996.

[2] A.M.Bloch，N.E.Leonard，and J.E.Marsden，Stabilization of the pendulum on a rotor arm by the method of controlled Lagrangians，Proc.IEEE Int.Conf.Robotics and Automation，Detroit，MI，1999，pp.500-505.

[3] R.Abraham and J.E.Marsden，Foundations of mechanics，second ed.，AddisonWesley，Reading，MA，1978.