問題引導(dǎo)式教學(xué)法在級數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘?要：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，如何激發(fā)學(xué)生的興趣，變“被動學(xué)習(xí)”為“主動學(xué)習(xí)”是很多教師教學(xué)研究的方向。級數(shù)部分一般安排在高等數(shù)學(xué)課程的最后一章，一是因為它的知識的獨立性，二是它在教學(xué)中是一個相對較難的內(nèi)容。判別級數(shù)的斂散性即是級數(shù)教學(xué)中的主要任務(wù)也是難點。在級數(shù)教學(xué)中運用問題引導(dǎo)式教學(xué)法可以順利把學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)換為“我要學(xué)”，通過引導(dǎo)學(xué)生自己觀察，總結(jié)出一類級數(shù)，命名為類P級數(shù)，探討出了一個簡單快捷的判別方法，并把它的應(yīng)用進行了推廣。

關(guān)鍵詞：問題引導(dǎo)式教學(xué)法;級數(shù);類P級數(shù)

一、問題的提出

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程教師往往是先給出一個理論，然后證明，然后應(yīng)用，學(xué)生成為教學(xué)過程中的一個被動接受者，學(xué)習(xí)積極性不高，對知識的理解不夠深入，概念較模糊。以常數(shù)項級數(shù)部分的教學(xué)為例，這部分涉及概念多，級數(shù)類型多，判別方法多，學(xué)生往往出現(xiàn)難以判斷級數(shù)類型，無法選擇適合的判別法判別的問題。很多教師幫助學(xué)生歸納總結(jié)，但是學(xué)生仍然會有“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的感覺。同時教師往往省略數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論的形成與發(fā)展過程，更多地注重了知識的傳授，忽略學(xué)生作為一個學(xué)習(xí)個體的多方面的需求。學(xué)生不僅要通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)知識，還要培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這些數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)是需要學(xué)生獨立的思考探索才能獲得。

問題引導(dǎo)式教學(xué)法是以啟發(fā)式教學(xué)為主導(dǎo)的一種教學(xué)模式。它以問題解決為中心，以教師的導(dǎo)引作為手段，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)為目的，變“被動學(xué)習(xí)”為“主動學(xué)習(xí)”，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入這種方法，用問題激勵學(xué)生去思索去探索，圍繞問題的解決展開教學(xué)，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本文以高等數(shù)學(xué)中無窮級數(shù)教學(xué)中的一個片段為例，運用問題引導(dǎo)，設(shè)置情境，讓學(xué)生自主探索自主學(xué)習(xí)，對問題引導(dǎo)式教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進行探究。

二、準(zhǔn)備知識

所謂“因材施教”就是要了解自己的學(xué)生，其中一點就是要了解學(xué)生的知識背景。級數(shù)位于高等數(shù)學(xué)最后一章，前面的知識應(yīng)該都是學(xué)生學(xué)習(xí)這個部分的知識背景，可是并不能這樣一概而論，要具體找到知識點，因為不是之前學(xué)過的每個知識點都是要運用到這部分教學(xué)中，梳理出來后，做到心中有數(shù)。經(jīng)過準(zhǔn)備，我們發(fā)現(xiàn)在探索本部分問題時需引導(dǎo)學(xué)生自己逐漸從所學(xué)知識中找到下列相關(guān)內(nèi)容。

三、問題引導(dǎo)式教學(xué)法的應(yīng)用

精心設(shè)計問題是問題引導(dǎo)式教學(xué)法的關(guān)鍵。在教學(xué)的每一步都要根據(jù)學(xué)生的實際認(rèn)知情況，設(shè)置好問題，讓學(xué)生建立起問題意識，然后在問題的牽引下完成既定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。我在設(shè)計問題時考慮學(xué)生的已有知識體系和認(rèn)知習(xí)慣進行下面的課程設(shè)計。

第一步，借助于類比手法，建立新概念的認(rèn)識基礎(chǔ)。明確教學(xué)目標(biāo)是能運用極限形式的比較審斂法判斷一類級數(shù)的斂散性，總結(jié)出一個規(guī)律：分子與分母的冪次差決定了這類級數(shù)的斂散性。我先準(zhǔn)備了一組練習(xí)，比如：根據(jù)所學(xué)審斂法判斷下列級數(shù)的斂散性。

這些級數(shù)的斂散性判別都是可以運用引理2的極限形式的比較審斂法解決，并且運用到的比較級數(shù)都是P級數(shù)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)我們在設(shè)置問題時，要使得所有級數(shù)的共同特點呈現(xiàn)出我們要得到的規(guī)律。每個級數(shù)又要表現(xiàn)出與其他級數(shù)的不同特點，避免問題簡單重復(fù)，開發(fā)學(xué)生的思維。綜上考慮，這些級數(shù)的一般項中，分子分母的冪次不僅有整數(shù)冪次，還包含0次冪，分?jǐn)?shù)次冪，分子分母均為分?jǐn)?shù)次冪等情形。這樣利于學(xué)生在探究問題規(guī)律時求同存異，析出正確結(jié)論。

第二步，借助于問題的分析與探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)里面固有的規(guī)律。教師設(shè)問“運用的判別方法有什么共同之處？”，“這些級數(shù)的共同特點是什么？”。通過組織練習(xí)討論發(fā)現(xiàn)這些級數(shù)在判斷斂散性時，都用到了比較審斂法，且都是和P級數(shù)進行比較。于是引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出一個結(jié)論。

結(jié)論1?對于這類級數(shù)，如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數(shù)發(fā)散或條件收斂;如果滿足l-k>1，則級數(shù)絕對收斂。

教師又問“這類級數(shù)有什么共同特點呢？”有些學(xué)生就發(fā)現(xiàn)它們一般項和有理函數(shù)很像，給出了下面這樣一個定義。

定義2?形如∑SymboleB@

n=1Pk（n）Ql（n）的級數(shù)，稱為類P級數(shù)，其中Pk（n），Ql（n）分別為k和l次冪的多項式。（k，l非負(fù)）

第三步，引導(dǎo)學(xué)生證明結(jié)論，將結(jié)論轉(zhuǎn)變成一個定理，實現(xiàn)知識的內(nèi)化處理。

定理1?對于類P級數(shù)，如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數(shù)發(fā)散或條件收斂;如果滿足l-k>1，則級數(shù)絕對收斂。

證明：運用引理1，2可知：

第四步，教師提出問題“證明過程中的絕對值符號的意義是什么？”引導(dǎo)學(xué)生思考任意項技術(shù)和正項級數(shù)的關(guān)系，考慮如果是正項級數(shù)，那么定理是否可以簡化？從而在方便使用的前提下，將定理界定在正項級數(shù)中，得出更有實用意義的推論。

推論1?若類P級數(shù)∑SymboleB@

n=1Pk（n）Ql（n）是正項級數(shù)，或n足夠大后所有項均為正項，則有如下結(jié)論：如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數(shù)發(fā)散;如果滿足l-k>1，則級數(shù)收斂。

有了這個推論1，類P級數(shù)的斂散性判別就簡單多了，比如級數(shù)∑SymboleB@

n=1（1+n21+n3）2為正項級數(shù)，且分子最高冪次為4次冪，分母最高冪次為6次冪，6-2=2>1，根據(jù)推論可知級數(shù)收斂。

第五步，教師再次重點給出例題1中的（3）（4）小題，提問“剛才定義2中的類P級數(shù)有什么局限性呢？是否可推廣到這樣的級數(shù)？”這兩個級數(shù)的一般項為分子分母的冪次不是整數(shù)的有理分式。這就進一步推廣定理1的應(yīng)用，同時也讓學(xué)生抓住問題的主要矛盾，去掉干擾因素，把握住這類級數(shù)斂散性判別的唯一決定因素。

第六步，引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識融合，靈活使用定理1。有些級數(shù)的斂散性判別可以通過等價無窮小代換思想轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛囝怭級數(shù)的斂散性判別。教師提問“我們學(xué)習(xí)過許多等價無窮小常用的有哪些？”“級數(shù)收斂的必要條件是什么？”級數(shù)收斂的必要條件是在項數(shù)n趨于無窮時，一般項為無窮小。高等數(shù)學(xué)中常用的等價無窮小有：

當(dāng)x→0時，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1

當(dāng)級數(shù)的一般項中出現(xiàn)這些函數(shù)時，可以考慮運用等價無窮小找到相應(yīng)的類P級數(shù)作為比較級數(shù)。教師給出例題。

例2?判斷下列級數(shù)的斂散性。

四、效果總結(jié)

嘗試問題引導(dǎo)式的教學(xué)方法進行“類P級數(shù)”的教學(xué)后，通過課堂測試，課后作業(yè)檢查教學(xué)效果有明顯提高。首先，學(xué)生普遍反映，這種步步引導(dǎo)，自己探索的教學(xué)方式，讓他們不僅學(xué)習(xí)了新知識，對概念和定理的把握更清楚，而且培養(yǎng)了獨立思考，獨立歸納的能力。其次，教師在教學(xué)中也能時刻把學(xué)生的學(xué)習(xí)放在第一位，學(xué)生成了推進教學(xué)活動的主體，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果成了教學(xué)效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)，做到教學(xué)以學(xué)生為中心;更值得一提的是，在此次教學(xué)實踐中，學(xué)生不僅僅是學(xué)會了基本的教學(xué)內(nèi)容，竟然自己通過探索提出一個新的數(shù)學(xué)概念——類P級數(shù)，學(xué)生的創(chuàng)新思維得到了鍛煉。

這個教學(xué)方法的良好運用不但需要一個合適的課堂設(shè)計，而且要求教師有更高的課堂控制能力、溝通能力、主持能力。教師在教學(xué)中要學(xué)會妥善處理一些問題，比如課堂的時間如何分配，問題的設(shè)置怎樣更合理，學(xué)生的討論如何引導(dǎo)等等。教學(xué)是一門學(xué)問，需要我們不斷地去探索研究。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）[M].同濟大學(xué)出版社，2009：202.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].同濟大學(xué)出版社，2009：43.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）[M].同濟大學(xué)出版社，2009：204.

項目資助：工程數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)輔導(dǎo)課程建設(shè)與應(yīng)用，校級（項目編號：BYJY201906）

作者簡介：劉會靈（1977—），女，漢族，河北保定人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)法。