常微分方程課程的教學(xué)改革與實踐方法初探

摘要：常微分方程課程是各大高等院校都會開展的課程，因為常微分方程有很強的理論性，并且在實際的運算中還有很強的應(yīng)用性，為了更好地實現(xiàn)常微分方程課程教學(xué)改革，為常微分方程的實際應(yīng)用提供更大的空間。本文將對常微分方程課程的改革與實踐方法進行改進和研究，分別從教師與學(xué)生的角度對這一問題進行探討，從而更好的探尋出常微分方程課程的改革方式。

關(guān)鍵詞：常微分方程;課程改革;教學(xué)方法;實踐

中圖分類號：G642.3 ????文獻標(biāo)識碼：A

《常微分方程》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，是連接三門專業(yè)平臺課程數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何和三門后繼課程泛函分析、拓撲學(xué)、近世代數(shù)的橋梁。該課程在大學(xué)的第四學(xué)期開設(shè)，共64（16？）學(xué)時，4學(xué)分，在專業(yè)人才培養(yǎng)方案中起到承上啟下的作用。

培養(yǎng)本科層次的高素質(zhì)應(yīng)用型人才是我們地方高校的辦學(xué)定位。為更有效地實現(xiàn)應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合我院學(xué)生的實際，我們對《常微分方程》的課堂教學(xué)進行了改革與探索，切實提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

1充分發(fā)揮教師的職能

教師是學(xué)生獲取知識的重要途徑，只有通過教師的講解學(xué)生才能夠?qū)⒏鞣N知識不斷的掌握運用，因此教師在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中起到了極為重要的作用，這是不可替代的。

以往我們講授《常微分方程》的一條主線是解方程（組）。解方程（組）包括一階微分方程的初等解法、可降階的高階微分方程、線性微分方程（組）解的結(jié)構(gòu)和常系數(shù)微分方程（組）的求解。

近年來，我們越來越感受到這種傳統(tǒng)的授課思路明顯落后于現(xiàn)代社會的發(fā)展，突出體現(xiàn)在學(xué)生遇到應(yīng)用型題目時的茫然和研究生復(fù)試中。

鑒于此，我們搭建了一條新的教學(xué)主線——數(shù)學(xué)思想。思想是數(shù)學(xué)的靈魂，抓住了數(shù)學(xué)思想，能夠以一變應(yīng)萬變。比如，一階微分方程解的存在唯一性定理是《常微分方程》課程的理論基石，邏輯性強、抽象程度高，一直以來是課堂教學(xué)的難點。

解的存在唯一性定理：如果函數(shù)在矩形域

上連續(xù)且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，則方程

（*）

存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初值條件，

這里，

該定理的核心思想是Picard逐次逼近法：任取一個初始函數(shù)，運用迭代的方式構(gòu)造出函數(shù)列。針對Picard逐次逼近法，學(xué)生普遍感到疑惑的問題是：為什么從開始，就能夠越來越接近微分方程的解？為此，我們特別指出估計式

并運用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，其中L是Lips-chitz常數(shù)。

掌握了Picard逐次逼近法，就把握了定理證明的核心。從逐次逼近法的角度，課后習(xí)題3.1中的多個題目就可能變成了一個題目，相同的是思想，不同的只是形式和計算技巧。比如，利用Picard逐次逼近法我們可以解答和證明：

（1）初值問題的n次近似解，見第1、2、3題;（2）一階線性微分方程解的存在唯一性定理，見第5題;（3）方程（*）在閉區(qū)間[;，;]上整體解的存在唯一性，見第8題;（4）函數(shù)方程解的存在唯一性，見第9題;（5）積分方程連續(xù)解的存在唯一性，見第10題。掌握了一種數(shù)學(xué)思想，就把握住了眾多問題中存在共性的地方。

2發(fā)掘知識重點

常微分方程是一門應(yīng)用性強的學(xué)科，早已滲透到控制論、分支理論、泛函微分方程等數(shù)學(xué)分支，也廣泛應(yīng)用于社會學(xué)、種群生態(tài)學(xué)、氣象、醫(yī)學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域。教材在緒論中介紹了常微分方程的若干模型，我們將這些方程模型重置于相對應(yīng)的章節(jié)，再摘選文獻里的一部分應(yīng)用型題目添加進課堂，教學(xué)效果良好。比如，緒論中的Malthus人口模型建立了一個變量可分離方程;文獻[2]中的案例4（靜脈輸液問題）建立了一階常系數(shù)非齊次的線性方程等。有了這些生活中的實際問題建立起的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生對相應(yīng)類型的微分方程求解自然是興趣盎然且積極主動。

3增強學(xué)生的主觀能動性

在學(xué)習(xí)過程中，要想真正的實現(xiàn)教學(xué)效果的提升，就必須讓學(xué)生的主觀能動性得到提升，只有充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，才能夠更好地實現(xiàn)教學(xué)效果的改良。可以充分利用學(xué)習(xí)平臺，學(xué)生的知識掌握水平存在著很大的差異，所以在課堂中學(xué)生的掌握程度也不盡相同，那就可以通過利用網(wǎng)絡(luò)平臺為學(xué)生講解，此外教師還可以將網(wǎng)上的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源進行篩選上傳，讓學(xué)生通過課余時間加強對相關(guān)知識的掌握，從而讓學(xué)生對知識的理解不斷加深與強化。

4結(jié)語

常微分方程課程作為一項基礎(chǔ)課程，在很大程度上為學(xué)生的實際工作提供了幫助，這一課程在實際運用方面十分廣泛。只有真正的從教師和學(xué)生兩個方面實現(xiàn)課程改革，才能夠真正的提高學(xué)習(xí)效率，與時俱進。

基金項目：濱州學(xué)院2016年度校級專業(yè)核心課程建設(shè)項目（課題編號：BYHXKC201604）。

作者簡介：張萍萍（1973.1）女，漢族，山東濱州人，博士，濱州學(xué)院，副教授，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)。

參考文獻

[1]周霞，張克磊，劉期懷.基于"雨課堂"的"常微分方程"課程教學(xué)改革與實踐[J].教育現(xiàn)代化，2018，5（49）：131-135.

[2]吳瓊揚.常微分方程課程的教學(xué)改革與實踐[J].當(dāng)代教育實踐與教學(xué)研究（電子刊），2018（04）：178-179.