正確認識負數內涵 合理安排負數教學

吳青

摘 ? 要：在小學階段，學生只是初步認識負數，知道負數的大小，能夠用正數和負數來表示相反意義的量。但是，對于負數的應用，還是有著許多不清楚的地方，甚至教師中間仍然存在著誤解和爭議。因此，有必要深入認識負數的內涵，完善對負數的認知。

關鍵詞：小學數學;負數;相反意義;矢量

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2020）19/22-0044-06

一、問題緣起

某校的小學畢業數學試卷上，有這樣一道選擇題：

“如果從A點向東走50米到B點記作+50米，那么從B點向西走200米應記作（ ? ? ）。

A.-250米 ? ? B.-200米

C.-150米 ? ? D.+150米”

對于這道題，出卷老師給出的標準答案是“-150米”，認為B點的位置是+50米，從B點向西走200米之后的位置就應該是“-150米”。

但是有些閱卷老師卻認為答案應該是“-200米”，他們認為“+50米”不是B點的位置，而是“向東走50米記作+50米”，和B點無關，只和行走的方向有關，向東行走為正，因此向西行走就為負，“向西走200米”應該記作“-200米”。

兩種觀點爭執不下，最終學校領導拍板，堅持原來給定的標準答案“-150米”是正確的，而“-200米”是錯誤的。那么這道題的正確答案到底是多少呢？為什么會有“-150米”與“-200米”這兩種答案的爭論呢？這兩種觀點是否有其合理性呢？

這道題涉及到了負數的內涵，直接考察學生對負數概念的認識是否深刻、準確，對于負數的實際應用是否熟練掌握。那么，什么是負數呢？我們肯定會脫口而出，負數不就是比0小的數嗎？沒錯，負數確實是比0小的數，所有比0小的實數都是負數。但是，如此簡單含義的背后，卻有著豐富的內涵，值得我們去深入研究。

負數到底是什么？負數是怎樣產生的？負數有什么用？下面就讓我們從負數的產生開始逐步深入地探究負數的內涵，全面地認識負數。

二、負數的產生

據史料記載，早在兩千多年前，我國就有了負數的概念。那么，負數是怎樣產生的呢？

負數的源頭有兩個，其一是源于生活實踐，其二是源于數學本身。

（一）負數源于生活中相反意義的量

在狩獵和農耕時代，采用石子計數和結繩計數，涉及到的都是自然數，“自然數”這個名稱就真實再現了這些數“自然而然”產生的過程。比如：打獵得到5只羊，就用5顆石子表示，記作數字“5”。如果把這5只羊全都吃掉了，那就沒有剩余了，于是就用“0”來表示一無所有。所以這時人們認識的數都是0、1、2、3……這些自然數。

而當打獵得到的動物、種植得到的糧食吃不完時，就出現了商品交易。在商品交易過程中，不可避免的存在盈與虧、結余與賒欠等情形。對于這些具有相反意義同時成對存在的量，該怎么表示并區分它們呢？比如“運進5袋大米”和“運出5袋大米”，雖然都是5袋大米，但是很顯然它們的意義是相反的。

為了更加簡潔、明確的表示這些相反意義的量，我國古代數學家創造了負數，用正負數來分別表示一對具有相反意義的量，比如賣出的錢數（收入）為正，買物的錢數（支出）為負;余錢（賺錢）為正，不足錢數（虧錢）為負;運進的糧食（益實）為正，運出的糧食（損實）為負;增加為正，減少為負……

由此可見，負數是在生活實踐中產生的，是用于解決生產生活中實際問題的。我們知道，數學源于生活，又運用于生活，而負數的產生就很好的說明了這一點。

（二）負數源于數學方程有解的完善性

成書于公元一世紀的《九章算術》是我國古代的一部數學專著，是“算經十書”中最重要的一部。《九章算術》全書共有九章，其卷八為《方程》，這里的方程其實是指多元一次方程組，將它們的系數和常數項用算籌擺成“方陣”（所以稱為“方程”）。

《九章算術》中解方程組采用的是消元法，在消元的過程中，不可避免的會出現系數為負數的問題，所以《九章算術》中明確提出“以正負術入之”。魏晉時期的著名數學家劉徽在注文中說：“今兩算得失相反，要令正負以名之。” 意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們，這在國際數學史上首次給出了正負數的定義。同時，劉徽還說，“正算赤，負算黑，否則以邪正為異。”意思是用紅色的算籌表示正數，用黑色的算籌表示負數;也可以用斜擺的算籌表示負數，用正擺的算籌表示正數，這是用算籌表示正負數時的區分方法。

《九章算術》中還給出了正負數的加減法計算法則，但并未提及正負數的乘除計算。直到1299年，元代數學家朱世杰于《算學啟蒙》一書中才明確給出正負數的乘除法計算法則。因此最遲于13世紀末，我國對有理數四則運算法則已經全面做了總結，遠遠早于西方國家。

我國古代是在方程組求解的過程中認識負數的，而西方則是在對方程的解的爭論中才逐步有了負數的概念。負數在國外得到認識和被承認，要比中國晚得多。

我們知道，一元一次方程都是可解的，比如最簡單的一元一次方程x+a=b，它的解為x=b-a。具體來說，方程x+4=7的解為x=3，方程x+4=4的解為x=0。而求解方程x+4=0時，x=-4，這時候的解就是一個比0小的數，我們用負數來表示，為“-4”。

西方數學家認為0就表示什么都沒有了，那么比0還小的數是什么意思呢？它又是多少呢？實在難以理解，所以他們把負數稱為“否定數”，而圍繞負數是否存在、是否有意義的問題，爭論了很長時間。

歐洲14世紀最有成就的法國數學家丘凱把負數說成是荒謬的數。直到16世紀，大多數歐洲數學家還不承認負數是數，不同意負數作為方程的根。比如“代數學之父”法國著名的數學家韋達就不承認負數的合法地位，他在解方程時，如果碰到了負數，就把它舍去。帕斯卡則認為從0減去4是純粹的胡說。而英國著名代數學家德·摩根在1831年仍認為負數是虛構的。1629年荷蘭人日拉爾才首先認識和使用負數解決幾何問題。1637年，法國數學家笛卡爾建立了坐標系，把負數安排在坐標軸上與正數相反的位置，負數開始有了幾何意義，獲得了實際的解釋，這才使負數在數學中的地位慢慢確立起來，并逐漸為人們所認可。而隨著19世紀整數理論基礎的建立，負數在邏輯上的合理性才真正建立起來。至此，負數才真正是合理合法的，具有嚴密的邏輯基礎，數學意義上嚴格的負數概念最終形成。

與負數相類似的，無理數是由于正方形的對角線與其一邊長度不可公度而產生的，虛數同樣是在方程求根計算中產生的，它們一開始都不被承認，“無理”和“虛”這幾個字，就形象的表明了人們一開始對這些數的認識態度，后來慢慢的被人們所接受并建立了嚴密的邏輯基礎，形成了嚴格的數學概念。

數學就是這樣，一方面不斷的從生活實踐中汲取營養，獲取靈感，為了解決實際問題而不斷的創生新的知識;另一方面，又在數學本身的知識體系不斷完善、不斷嚴密的過程中，衍生出新的數學知識。從而，數學知識體系變得越來越龐大，根深葉茂。

三、負數的內涵

在著名數學家谷超豪院士主編的《數學詞典》中，對負數的定義只有簡單的五個字：“小于零的數”，而正數同樣簡單的定義為“大于零的數”。負數和正數的定義雖然很簡單，但內涵卻非常豐富。

定義中涉及到的“小于”“大于”再加上“等于”，這是兩個數比較大小時的三種不同結果，在學生剛進入小學一年級的時候就已經認識了。

從上面的兩幅圖中可以看出，我們是借助“一一對應”來認識和理解“小于”“大于”和“等于”這三種大小關系的。把兩組物體進行一一對應，如果最后都沒有剩余，那么就說這兩組物體的數量“相等”;如果其中一組物體用完了，但另一組物體還有剩余，找不到與它相對應的物體，那么就說有剩余的那組物體的數量“大”，另一組物體的數量“小”。這里說的“有剩余”，也就是說剩余物體的數量是一個非零自然數（正整數）。

下面我們從減法的角度來分析兩個自然數的大小關系。對于兩個自然數a、b，如果a-b的結果是一個非零自然數，那么就說a大于b（或者b小于a）;反之，如果b-a的結果是一個非零自然數，那么就說a小于b（或者b大于a）;如果a-b的結果是0，那么就說a等于b。這里說的“非零自然數”，也就是“正整數”。可以看出，不管采用哪種方法來理解“小于”和“大于”，它們都離不開正數。因此我們所說的“負數是小于零的數”，這個定義同樣也離不開正數，負數始終是和正數牽扯在一起的，與正數有著千絲萬縷的聯系。負數是小于零的數，正數是大于零的數，就它們的內涵來看，負數和正數表示的是相反意義的數量。

四、負數的應用

負數是正數的相反數，表示具有相反意義的量。在生產生活中，負數的應用主要有兩個方面：一是表示點的位置，二是表示量的大小。

（一）負數表示點的位置

當法國數學家笛卡爾建立了坐標系之后，負數開始有了幾何意義，并獲得與正數同等的價值。

當一條直線，規定了原點、正方向和單位長度，那么就可以用這條直線上的點來表示所有的數（實數），這條直線就成為一根數軸。數軸上的正方向一般規定為向右或向上的方向，與之相反的，向左或向下的方向則為負方向。從原點出發，朝正方向的射線（正半軸）上的點對應的數都是正數，朝負方向的射線（負半軸）上的點對應的數都是負數，原點對應零。

比如說溫度，南京的氣溫是+15℃，北京的氣溫是-10℃，這里的+15和-10，其實就相當于溫度計上兩個點的位置。溫度計上的0℃就相當于是數軸的原點，溫度計向右或向上的方向為正方向，因此溫度計就相當于是一根數軸，用正數或負數所表示的溫度就相當于是數軸上的點。

再比如海拔高度，它相當于一根豎直擺放的數軸，數軸的原點就是海拔零點（我國計算的海拔高度都是以青島的黃海海面作為零點算起），向上的方向為正方向，表示海拔高度的正數或負數，都相當于這根數軸上的一個點。地球表面海拔最高的地點珠穆朗瑪峰的海拔高度為+8844.43米，就表示珠穆朗瑪峰在我國海拔零點向上8844.43米;我國地勢最低的吐魯番盆地的海拔高度為-154.31米，表示吐魯番盆地在海拔零點向下154.31米。

（二）負數表示量的大小

數學和物理中的量，有標量和矢量之分。標量是指具有數值大小而沒有方向的量;矢量是既有大小又有方向的量，又稱為向量。很顯然，標量只有大小而沒有方向，所以不具有相反意義;而矢量具有方向性，所以可以表示相反意義。因此，負數所表示的具有相反意義的量，其實就是矢量，正數與負數前面的正、負號就表示矢量的方向。矢量涉及到量的大小和方向，它相當于一個變化過程，與變化的起點和終點無關。

比如股票的漲跌可以用正數和負數來表示，股票A某天的漲幅為+5%，就表示今天的股票價比昨天的收盤價高了5%;股票B的漲幅為-3.7%，就表示今天的股票價比昨天的收盤價低了3.7%。這里的+5%和-3.7%表示的就是股票價的變化量，至于昨天的收盤價是多少，今天的股票價是多少，這兩個正負數并沒有涉及。

再比如收入和支出也可以用正負數來表示，+3000元表示收入3000元，結余的錢數比前一次多了3000元;-1500元表示支出1500元，結余的錢數比前一次少了1500元。+3000和-1500這兩個正負數表示的就是錢數的變化量，至于原來的錢數是多少，現在的錢數是多少，我們并不知道，也無需知道。

（三）負數兩種應用的區別

在上面的幾個生活應用的實例中，正數和負數要么表示點的位置，要么表示量的多少，相互并不混雜，沒有干擾。但是在有些時候，兩者會產生交集，出現在同一個場景中，讓人分辨不清。

比如，電梯向上5層記作+5層，下降3層記作-3層。這里的+5和-3表示了電梯的變化量，向上為正，向下為負，至于原先是從哪一層開始運行的，最后停在了哪一層，都無關緊要，只需要關注向上還是向下運行，運行了幾層。所以這里的兩個數表示的是量的多少。但是，地上5層記作+5層，地下3層記作-3層，這時的+5和-3表示的是樓層的位置，整幢樓房相當于一根豎直的坐標軸，向上為正，向下為負，地面就是坐標原點，因此+5和-3表示的就是這根坐標軸上點的位置。

你看，在同一幢樓房里，既可以用負數來表示點的位置，又可以用負數來表示量的多少，兩次表示所用到的都是+5層和-3層，盡管寫出來的形式完全相同，但是兩次所表示的意義卻是完全不同的。那么，我們該如何辨析這兩種不同的情形呢？