基于傳遞函數分析的高速鐵路自耦變壓器繞組軸向移位故障診斷研究

高仕斌， 嚴靜荷， 周利軍， 江俊飛， 李 威

(西南交通大學 電氣工程學院， 四川 成都 611756)

AT(Autotransformer)供電方式是目前高速鐵路的主要供電方式，其擁有供電距離長、對沿線通信線路干擾小等特點，自耦變壓器是AT供電系統最主要的設備之一[1]。由于高速鐵路一般采用高架橋設計，接觸網在高架橋上受雷擊、異物接觸等影響，會引起短路跳閘事故，而短路電流沖擊是導致變壓器繞組故障的主要原因。其中，軸向移位是常見的繞組故障之一，進而引起繞組間漏磁的增加及磁通分布不對稱，降低了現場變壓器運行的可靠性，從而影響牽引供電系統的安全運行[2-3]。

頻率響應分析(Frequency Response Analysis，FRA)法所需的測量儀器簡便，測試靈敏度高，是目前現場測試變壓器繞組是否存在故障的主要方法[4-5]。頻率響應法是在繞組一端施加頻率連續變化的正弦信號，在另一端測量信號并計算得到頻率響應曲線[6]，目前利用FRA法進行繞組變形診斷時，都是通過故障前后或相間繞組的幅頻曲線對比得出結論[7]，未考慮系統的相頻特性。由FRA法的測試原理可知，其本質是利用頻響曲線表征系統傳遞函數的變化，近年來的研究表明，傳遞函數的相位特性也可以反映繞組狀態[8]，為此國內外學者對通過頻率響應曲線幅值、相位特征獲取更為豐富的診斷信息進行了大量的研究。昆士蘭大學的學者通過FRA曲線中的幅值和相位值將FRA曲線轉換成奈奎斯特圖，并通過仿真和試驗計算了不同情況下奈奎斯特曲線的變化規律，研究故障與曲線特征的關系[9]；科廷大學的學者基于FRA曲線幅值和相位值繪制了極坐標圖，并研究利用圖像分布特征進行故障診斷[10-11]。上述工作豐富了頻率響應曲線的特征信息，促進了繞組變形診斷評估技術的發展，但奈奎斯特圖、極坐標圖只是通過頻率響應曲線轉換坐標而得到，本質上仍是對頻率響應曲線進行直接分析，且分析指標仍為偏移量特征，較為單一。由于缺乏一些更深層次的分析方法，基于FRA法的繞組變形診斷方法研究進展緩慢。近年來，通過變壓器繞組頻響數據辨識傳遞函數的方法受到國內外學者的關注，傳遞函數能夠直接地反映繞組等效參數電路與物理結構之間的關聯性，其系數和零極點能映射繞組的機械狀態。分析傳遞函數的變化可以判斷繞組變形，為頻率響應分析法增添更深層次、豐富的評價信息。

圖1 自耦變壓器輻向分裂繞組

在頻響曲線擬合方法上，上海交大的學者最先通過普通多項式進行最小二乘辨識，但隨著曲線擬合階次和頻率點數的增加，該方法可能出現病態方程組，降低了辨識精度[12]；武漢大學的學者將普通多項式替換成正交多項式，從而防止了病態方程組的出現，增加了辨識的精度[13]。但應用在高階系統上時，上述兩類方法的辨識效果仍舊不夠理想，而且目前大多數基于傳遞函數的診斷均是針對雙繞組變壓器，高低壓繞組間是相互獨立的。而高鐵自耦變壓器繞組采用了輻向分裂式結構(見圖1)，其中O、A、B分別為繞組接線端口，O端口與軌道相連，A端口與接觸網連接，B端口與饋線連接，各分裂繞組(串聯繞組1、2)在變壓器的內部連接，無法在外側直接測得各個分裂繞組的FRA曲線，這使得內部傳遞函數更為復雜，增大了傳遞函數辨識的難度。而矢量匹配法擁有較高的計算效率和計算精度，在電力系統頻率特性擬合中應用較為廣泛[14]，該方法將普通多項式代替為有理基函數進行擬合，可以顯著地提高擬合的精度，為本文自耦變壓器繞組傳遞函數的高精度辨識提供了較好的方案，也為基于傳遞函數進行繞組狀態的診斷提供了較為可靠的基礎。

本文以一臺實際自耦變壓器為研究對象，基于驗證的分布式集總參數電路模型，計算得到了正常和軸向移位故障下的繞組頻率響應幅頻和相頻曲線，并利用快速松弛矢量匹配法直接擬合計算得到高精度的傳遞函數多項式，通過計算得到繞組傳遞函數系數序列的Kendall Rank相關系數，提出了自耦變壓器分裂式繞組軸向移位故障診斷方法，最后通過實際案例驗證了所提方法的有效性，為現場自耦變壓器的繞組狀態分析提供了參考。

1 變壓器模型

本文以一臺高速鐵路2×27.5 kV的單相自耦變壓器為研究對象，由于牽引供電系統通常規定自耦變壓器27.5 kV側的阻抗為0.45 Ω，該值較常規電力變壓器標準阻抗低，因此自耦變壓器一般采用輻向繞組分裂結構以滿足阻抗要求[15]。

圖2 自耦變壓器結構及頻率響應測試

自耦變壓器中間繞組為公共繞組，串聯繞組由2個分裂繞組構成，分別安置在公共繞組兩側，每個繞組均由68個普通連續式線餅組成。在現場開展頻響測試時，本文采取了圖2中的接線方式，該方法從自耦變壓器繞組A端口注入掃頻正弦信號Uin，在B端口測量電壓信號Uout，Rm為測量電阻，通過計算式( 1 )得到所有繞組的傳遞函數H(f)[15]，該測試方式能直接測得3個繞組的頻率響應曲線，反映整個系統的傳遞函數特性。

( 1 )

變壓器在進行FRA測試時，繞組可以等效成圖3中的集總參數電路模型[16-18]，模型以繞組雙餅為電路單元，分別考慮了雙餅的縱向等值電容(Cs)、繞組對地電容(Cg1、Cg2)、各繞組間的耦合電容(Ck1、Ck2)、電容的并聯電導(Gs、Gg1、Gg2、Gk1、Gk2)、電阻(R)、自感(L)、互感(M)及各個錯位線餅間的電容(Cm)。

圖3 變壓器集總參數電路模型

為有效計算電路模型中的參數，基于有限元分析軟件構建了自耦變壓器三維有限元仿真模型,見圖4[19]。其中電容計算結果見表1，Ck1、Ck2分別為公共繞組與串聯繞組1、串聯繞組2之間同一高度線餅之間的電容；Cg為繞組對地電容，因此通過有限元模型計算得到矩陣。

表1 電容計算結果

繞組電感隨頻率的增加而降低，這是由于隨激勵頻率增加鐵心渦流效應更為明顯，同時也進一步降低鐵心導磁能力[20]，本文通過與測試頻率響應曲線的對比，通過主要諧振點處匹配，得到鐵心磁導率隨頻率變化的趨勢，并計算得到電感矩陣隨頻率變化的系數，見圖5。

圖4 自耦變壓器三維有限元模型

圖5 電感矩陣隨頻率變化系數

由于本文自耦變壓器采用半硬自粘換位導線，可降低徑向變形的概率，但繞組軸向移位仍然難以避免，為此針對串聯繞組2、公共繞組、串聯繞組1(根據圖1，以各繞組對應的端口對繞組進行標識，分別簡稱為O、A、B繞組)上分別發生1%、3%、5%軸向移位故障情況下的FRA曲線進行研究，軸向移位的故障程度定義為

( 2 )

式中：Δh為繞組移位距離；h為繞組整體高度。

根據圖3中的集總參數電路模型，在數值計算軟件中建立狀態空間模型計算頻率響應，該模型的可行性已在文獻[15, 21]中通過了驗證。通過有限元模型，計算得到了各繞組發生移位時的等效電路參數，并代入狀態空間模型中計算O、A、B繞組移位時的幅頻和相頻曲線圖，見圖6～圖8。由上述幾個圖可以看到不同的繞組發生移位時，幅頻和相頻曲線均發生了顯著的偏移，若能將幅頻和相頻曲線特征結合，診斷結果將更為準確。

圖6 O繞組軸向移位時頻率響應曲線

圖7 A繞組軸向移位時頻率響應曲線

圖8 B繞組軸向移位時頻率響應曲線

2 矢量匹配與傳遞函數計算

為了能將繞組頻率響應幅頻和相頻曲線相結合，本文擬將兩者結合用于推導出系統傳遞函數，并通過比較傳遞函數變化特征來反映繞組的變化特征。

2.1 矢量匹配

為進一步提高傳遞函數計算的精度，本文采用快速松弛矢量匹配方法進行傳遞函數計算[22-23]，其中頻域傳遞函數有理分式近似式一般表示為

h(s)≈

( 3 )

式中：a、b為系數，均為實數；h(s)為頻域傳遞函數；s為拉普拉斯算子；n為擬合階數。

擬合的過程分為兩步：

(1) 極點定位

設置初始極點為p0,p1,…,pn，并引入一個極點替換函數σ(s)，使之滿足如下表達式

( 4 )

式中：pi為傳遞函數的極點；ri為傳遞函數的留數；ui為σ(s)的余數向量；d為實數。其中σ(s)在高頻率下趨向于1，將式( 4 )中的第二行左右兩邊乘以h(s)

( 5 )

因此在整個頻率段上，該問題轉換成求解如下超定線性方程組

Ax=b

( 6 )

式中：A為對角線上元素為初始極點的對角矩陣；b為值為1的列向量；x為待求解向量。

(2) 零點計算

σ(s)的零點計算等價于求解如下特征矩陣H的特征值

H=A-b·uT

( 7 )

式中：A為對角線元素為初始極點的對角矩陣；b為所有值為1的列向量;uT為σ(s)的余數向量的轉置。σ(s)的零點即是h(s)的極點，為了使該方法收斂，把新得到的極點作為初始極點繼續進行迭代。

2.2 傳遞函數計算

為了驗證本文所用快速松弛矢量匹配方法的精度，以現場某臺自耦變壓器實測FRA曲線為參考，進行了擬合計算，整個頻段的擬合階數為40階，以共軛極點為初始極點，極點間隔為對數間隔。計算結果見圖9，擬合結果精度較高，且擬合的均方根誤差小于10-6，可見該方法極大地提高了傳遞函數計算的精度。

圖9 頻率響應曲線擬合

由于不同頻率下頻率響應曲線電感、電容諧振點的分布變化所反映的信息是不同的，因此，在1 kHz～1 MHz全頻域上對網絡的傳遞函數進行分析，難以有效地反映繞組變形在不同頻率區間的信息量。為此本文采用了分頻段擬合的方法，在電力行業標準DL/T 911—2016[24]中頻段劃分的基礎上，將中頻段繼續細分為2個頻段，以更加突出中頻段的特征，其中劃分的4個頻段：1～100 kHz為頻段1， 100～300 kHz為頻段2，300～600 kHz為頻段3，600 kHz～1 MHz為頻段4。

3 傳遞函數系數對比研究

變壓器繞組實際上是一個非線性系統，其非線性特性主要受電感的頻變特性影響。但繞組的非線性程度實際上較小，因此可以將其近似為一個線性系統，通過擬合頻響曲線辨識得到傳遞函數是可行的。同時本文繞組故障仿真表明：不同故障情況下電感的頻變特性基本一致，而電感等非線性元件的頻變特性對FRA曲線偏移的影響，較繞組故障引起的電感、電容量變化引起的曲線偏移可以近似忽略不計。為了進一步增強各個頻段的線性化程度，采用分頻段擬合的方法。其中頻段1的非線性特征較其他3個頻段要強，擬合的效果不如其他頻段好，因此相應地增加了該頻段擬合所需要的階數來提高精度，保證該方法的適用性。為了保證后續診斷的有效性，本文在擬合時確保了繞組正常和不同故障情況下各個頻段擬合的精度一致。

基于矢量匹配算法，針對圖6～圖8中的故障仿真曲線，分別在4個頻段內進行了擬合，得到了相應的傳遞函數多項式系數a0,a1，…,an-1和b0,b1,…,bn，并將其進行對數歸一化，為了區分，統一將系數歸一化后的值稱為參數。由圖6～圖8可知，頻率響應曲線在頻段2和4內的變化較為明顯，故重點分析頻段2和4內不同繞組在不同故障程度下的各階分子、分母參數，見圖10～圖12，其中橫坐標從左至右依次為ai和bi的不同階數，縱坐標為對數歸一化后的參數值。

圖10 O繞組移位時頻段2內各階參數變化

圖11 A繞組移位時頻段2內各階參數變化

圖12 B繞組移位時頻段2內各階參數變化

由圖10～圖12可以看到，隨著故障程度的增加，傳遞函數各階分子分母系數均發生了顯著偏移，且都向上進行了偏移。當O繞組和A繞組發生移位時，參數a和參數b的值偏移較為接近，而B繞組發生移位時，參數b的變化較參數a要顯著，傳遞函數變化更為明顯，這是由于B繞組靠近油箱，移位時對地電容和互感變化更為明顯，但從幅頻曲線中難以直接發現。

頻段4內的傳遞函數參數變化見圖13～圖15，與頻段2相反，當不同繞組發生不同程度地偏移時，傳遞函數各階分子分母系數均向下發生了顯著偏移。O繞組和B繞組移位時參數a較參數b更為明顯，而公共繞組發生移位時，參數a和b變化較為接近，這是由于串聯繞組分別靠近鐵心和油箱，移位時對地電容變化更為顯著，傳遞函數變化更為明顯。不論是頻段2還是頻段4都對應頻率響應曲線上的諧振點偏移，說明諧振點幅值頻率的偏移與傳遞函數參數的變化呈現一定的相關性。

圖13 O繞組移位時頻段4內各階參數變化

圖14 A繞組移位時頻段4內各階參數變化

圖15 B繞組移位時頻段4內各階參數變化

為能進一步分析繞組故障在不同頻段上的表現，表2中列出了不同繞組發生不同程度故障時各個頻段內的參數變化規律，由于各個頻段內的參數呈現出比較均勻的變化趨勢，因此參數平均變化率在一定程度上可表征參數總體的偏移規律。

表2 參數平均變化率對比表

由表2可知，頻段1內的參數平均變化率要遠小于在其他頻段上的參數平均變化率，對應于頻率響應曲線在頻段1內基本沒有發生什么偏移，而在其他頻段內的偏移量要大，因此傳遞函數參數變化率的大小可以用來表征諧振點的偏移程度。

由于自耦變壓器特殊的繞組結構，若串聯繞組發生故障，很難準確判斷變壓器哪一個串聯繞組發生了故障，由圖10～圖15可以看出，隨著故障程度的加深，在頻段2、3、4內，B繞組(靠近油箱)參數平均變化率變化的速率要明顯大于O繞組(靠近鐵心)參數平均變化率變化的速率，因此B繞組相應參數的變化對軸向移位故障更加敏感。

為了定量地評價繞組故障的程度，引入Kendall Rank(肯德爾秩)相關系數來評價繞組故障與正常情況下傳遞函數參數序列之間的相關性。其中Kendall Rank相關系數τ的計算式為

( 8 )

式中：C為兩組序列中存在一致性的元素對數；D為兩組序列中存在不一致性的元素對數；N為每組序列的總元素個數。將4個頻段內的參數合并到同一組序列Xa、Xb中

( 9 )

通過上述序列，計算出Kendall Rank相關系數τa、τb，繞組正常時τa、τb均為零，對其整理變形得到能表征繞組故障程度的參數τtotal，見表3，其中τtotal的計算式為

(10)

表3 特征參數τtotal對比表

由表3可知，當繞組發生1%至5%移位時，τtotal值呈現顯著增加，并且可以看到B繞組的變化較其他2個繞組更為明顯。為能進一步分析特征參數τtotal與繞組故障程度之間的關系，根據標準DL/T 911—2016相關系數計算方法[24]，計算得到低、中、高頻的相關系數RLF、RMF、RHF，見表4。

表4 O、A、B 3個繞組不同故障程度下相關系數

由表3和表4對比可知，當繞組發生1%的軸向移位故障時，通過相關系數法計算得到的結果為繞組正常，為此本文將Kendall Rank特征參數作為判斷繞組故障程度判據的同時，定義了一個判定區間。當0.4≤τtotal≤0.6時，繞組有可能發生了輕度故障；當0.6<τtotal≤0.75時，繞組有可能發生了明顯故障；當τtotal>0.75時，繞組有可能發生了嚴重故障，這也進一步增加了該特征參數對故障程度較輕時的靈敏度。

4 實驗驗證

為能進一步驗證本文的方法，本文對一臺用于高速鐵路的32 MVA/55 kV自耦變壓器進行了分析，該變壓器短路沖擊試驗前后的頻率響應曲線見圖16。由圖16可知，變壓器經過短路沖擊試驗后，高頻段的曲線發生了一定的偏移。利用快速松弛矢量匹配算法分頻段對其擬合，擬合采用的階數為50階，擬合的均方根誤差為10-6，其中由于頻段4內的幅頻曲線產生了明顯的變化，因此僅列出頻段4內傳遞函數系數的變化，見圖17。

圖16 繞組短路試驗前后頻響曲線

圖17 頻段4內各階參數變化

結果表明，繞組遭受短路沖擊后，頻段4內傳遞函數參數變小，向下偏移，對應于該頻段內頻響曲線發生了較大的偏移。根據標準DL/T 911—2016中給出的相關系數計算方法，得出繞組在遭受短路沖擊后其繞組正常，而本文的Kendall Rank特征參數τtotal的計算結果為0.403，根據定義范圍，表明繞組有可能已經發生了微小的移動，經過吊罩檢查，發現O繞組端部墊塊有部分松動，并采取了緊固措施，驗證了本文所提方法的有效性。

5 結論

本文基于快速松弛矢量匹配算法和頻率響應幅頻、相頻曲線對高速鐵路自耦變壓器的傳遞函數進行了高精度擬合計算，得到了正常情況和不同故障程度下的傳遞函數系數序列，通過計算其系數序列的Kendall Rank相關系數對繞組故障程度進行診斷。結果表明：

(1) 基于快速松弛矢量匹配算法提出的頻率響應曲線分析方法，結合繞組的幅頻和相頻曲線變化特性，可實現高精度的系統傳遞函數計算，比單純利用幅頻曲線變化趨勢進行判斷更加全面，有助于增加變壓器繞組故障診斷的準確性。

(2) 通過計算故障情況相對于正常情況的傳遞函數參數序列的Kendall Rank相關系數，定義了能夠表征繞組故障程度的特征參數τtotal，基于本文中的仿真和實測案例分析，表明該特征參數的大小能夠較為準確地對繞組變形的程度進行衡量，并對微小形變表現出更高的靈敏度。

(3) 從本文的案例中可以看出，與靠近鐵心的分裂繞組O(串聯繞組2)相比，遠離鐵心的分裂繞組B(串聯繞組1)隨著故障程度加深，其參數平均變化率變化的速率要大于O繞組，因此可以通過判斷參數變化率變化的速率來區分是串聯繞組O還是串聯繞組B發生了故障。