變基圓半徑渦旋膨脹機型線參數的優化選取

彭 斌，蔣 龍，王永強

（蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州730050）

自1984年Morishita首次建立圓漸開線渦旋型線的分析模型后，各國學者開始對渦旋機械進行深入研究。如：Matsuba等人對渦旋壓縮機的發展進行了總結和展望［1］；Lindsay等人研究了制造功能性渦旋壓縮機時圓漸開線渦旋型線所需具備的幾何特性［2］；Chen等人建立了渦旋壓縮機的工作模型，并對其工作時的受力、熱傳遞和泄漏情況進行了分析［3］；王向紅對渦旋膨脹機的泄漏損失進行了數值計算和分析［4］；Wang等人對渦旋壓縮機渦旋型線的數學模型進行了推導［5］。

雖然圓漸開線渦旋型線的數學模型較為成熟，且由其展成的渦旋機械較容易加工，但該渦旋型線展成時的可變參數較少，很難通過改變參數來提升渦旋機械的性能，因此學者們開始尋求可提升渦旋機械性能的新型線。Qing等人提出了一種膨脹腔腔體不對稱的渦旋壓縮機，并對其性能進行了研究［6］；Hwang等人提出了以橢圓為基準所展成的渦旋型線［7］；王吉岱等人對采用變基圓半徑漸開線型線的渦旋膨脹機進行了研究，并推導了其工作腔容積的計算公式［8］；Wang等人研究了多種漸開線的性能特點，提出了渦旋型線嚙合的計算方法［9］；Shaffer等人建立了多種由齒頭修正后的幾何模型，并基于預設的幾何參數對修正后渦旋型線展成的膨脹機的吸氣腔容積進行了計算［10］。

變基圓半徑渦旋型線是指其基圓半徑隨著展開角增大而連續變化的漸開線，由其展成的渦旋齒壁厚會隨著展角逐漸變大或變小，從而實現性能的改變。同時，由于它與圓漸開線渦旋型線極其相似，由其展成的渦旋機械的加工難度較低。丁佳男等人對變基圓半徑渦旋型線的方程進行了詳細推導，并對該型線的端部進行了雙圓弧修正［11］；唐景春等人對比了在氣體溫度和壓力耦合的工況下圓漸開線渦旋型線和變基圓半徑渦旋型線的應力、應變，并對后者進行了齒頭修正［12-13］。

隨著學科的交叉發展，智能算法開始廣泛應用于渦旋型線的優化。陳進等人利用多目標遺傳算法對組合型線進行了優化分析，得到了具有較高效率、較高體積利用率的組合型線，但該類組合型線的中間段為非漸開線，導致加工難度較大，而且在對多個參數同時優化時容易出現解為負值的情況，既降低了算法的準確率又增加了迭代次數［14］；王立存等人采用小生境遺傳算法對通用渦旋型線進行優化研究后發現，由于通用型線可變參數的局限性，其性能提升效果并不明顯［15］；劉濤等人利用MATLAB遺傳算法工具箱提供的多目標遺傳算法對三段基圓漸開線渦旋型線進行了優化，然而，由于遺傳算法工具箱的輸入形式固定，必須將所有公式合并后才能進行輸入和計算，這增加了優化前的工作量［16］。

在運算時，粒子群算法的運算效率高于遺傳算法，且變基圓半徑渦旋型線較組合型線有較好的連續性，更容易加工，所以本文采用粒子群算法對變基圓半徑渦旋型線的參數進行優化分析，為變基圓半徑渦旋膨脹機的型線設計提供參考。

1 變基圓半徑渦旋型線的數學模型

1.1 變基圓半徑渦旋型線的公轉半徑和膨脹起始角

變基圓半徑渦旋型線靜盤型線求解為［17］：

式中：a為初始基圓半徑；k為基圓變化系數；φ為漸開線展成角；α為漸開線發生角。

由式（1）可知：當k＜0時，基圓半徑隨漸開線的不斷展開而變小，壁厚也隨之減小；當k=0時，基圓半徑保持不變，壁厚不發生變化；當k＞0時，基圓半徑隨漸開線的不斷展開而變大，壁厚也隨之增大。圖1所示為不同k對應的變基圓半徑渦旋型線。

圖1 不同k對應的變基圓半徑渦旋型線Fig.1 Variable base circle radius vortex profiles corresponding to different k

變基圓半徑渦旋型線的公轉半徑和膨脹起始角分別為：

式中：φ0為渦旋型線嚙合點處內側型線的展角，可根據φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

1.2 動靜渦旋盤的嚙合盤徑

動靜渦旋盤是渦旋膨脹機的核心部件，其嚙合盤徑的大小直接影響渦旋膨脹機整體結構的設計，進而決定了渦旋膨脹機的質量大小。動靜渦旋盤嚙合盤徑作為渦旋膨脹機的關鍵結構參數，在不影響其性能的前提下越小越好。

變基圓半徑渦旋型線動靜渦旋盤的嚙合盤徑為：

式中：φe為漸開線最終展開角。

1.3 變基圓半徑渦旋膨脹機的膨脹比

渦旋膨脹機的膨脹比是最后一個膨脹腔的容積與吸氣腔容積的比值，用來表征渦旋膨脹機的膨脹性能。在一定尺寸下，膨脹比越大，渦旋膨脹機的性能越好。可通過增大漸開線最終展開角（即增加渦旋型線的展開圈數）或改變渦旋型線類型來增大膨脹比，但最終展開角的增大會使動靜渦旋盤的嚙合盤徑增大，從而導致膨脹機的體積和質量增大。

膨脹比的計算公式如下：

式中：V為變基圓半徑渦旋膨脹機最后一個膨脹腔的容積；V吸為變基圓半徑渦旋膨脹機吸氣腔的容積。

第i個膨脹腔的容積求解如下：

式中：h為渦旋齒齒高；A為變基圓半徑渦旋膨脹機的腔體面積［18］。

2 基圓變化系數對變基圓半徑渦旋膨脹機性能優化的影響

2.1 優化目標和優化參數的確定

由式（4）和式（5）可以看出，與嚙合盤徑D和膨脹比σ取值有關的參數為初始基圓半徑a、漸開線最終展開角φe、漸開線發生角α、基圓變化系數k和公轉半徑Rob，其中：Rob可由a、α、k三個參數求解得到；α是與漸開線開始展開時的起始位置有關的參數，與D和σ皆成正比，鑒于其影響有限，在優化時選取α=2π/9；φe是控制渦旋型線最終展成位置的參數，即控制渦旋型線的展開圈數以及工作腔個數，該參數對除排氣腔外的其余工作腔無影響，且對膨脹比的影響較小，故在優化時選定φe=20.41。

綜上，選取渦旋膨脹機的基本尺寸參數D和基本性能參數σ為優化目標，以初始基圓半徑a和基圓變化系數k為優化參數，對變基圓半徑渦旋膨脹機的渦旋型線進行優化，以尋求優化參數在一定范圍內變化時，單個優化目標的最優解和2個優化目標的非劣解集。

由公式（1）可以看出，當基圓變化系數k不變，僅考慮初始基圓半徑a的影響時，其對變基圓半徑渦旋型線的影響與對傳統圓漸開線的影響相同，故下面只針對基圓變化系數k的影響進行分析。

2.2 基圓變化系數k對嚙合盤徑D的影響

選取a=3.2mm，α=2π/9，φe=20.41，根據式（4）得到基圓變化系數k與嚙合盤徑D的關系曲線，如圖2所示。

圖2 基圓變化系數k與嚙合盤徑D的關系曲線Fig.2 Relationship curve between base circle variation coefficient k and mesh disc diameter D

根據圖2可知，在其他參數一定的情況下，嚙合盤徑D隨著基圓變化系數k的增大而增大，且兩者呈線性正比關系，故基圓變化系數k的選取對嚙合盤徑D有重要影響。

2.3 基圓變化系數k對各膨脹腔容積Vi的影響

選取a=3.2mm，α=2π/9，φe=20.41，根據式（6）和式（7）得到基圓變化系數k與各膨脹腔容積Vi的關系曲線，如圖3所示。

圖3 基圓變化系數k與各膨脹腔容積Vi的關系曲線Fig.3 Relationship curve between base circle variation coefficient k and volume of each expansion cavity Vi

由圖3可知：在嚙合盤徑D一定、相同的基圓變化系數k下，渦旋膨脹機各腔容積由內向外依次變大，這是渦旋膨脹機能夠實現膨脹功能的原因；k越小，各膨脹腔的容積越大。這就說明，在相同嚙合盤徑D下，選取較小的基圓變化系數k可以增加有效容積，從而優化膨脹機的性能。

3 基于粒子群算法的變基圓半徑渦旋型線參數的優化

3.1 粒子群算法

粒子群算法是一種群體智能優化算法，算法中的每個粒子都代表一個潛在解，每個粒子均有3個屬性參數，分別為位置、適應度值和速度。其中：粒子的位置表示該粒子此時的取值與群體最優解的距離；粒子的適應度值表示優化目標的解；粒子的速度決定了粒子的移動方向和大小，用于實現位置的更新。粒子群算法的流程如圖4所示。圖中，實線箭頭指引的流程為單目標粒子群優化算法流程，而多目標粒子群優化算法流程要附加虛線所指引的非劣解判斷流程，這是多目標優化與單目標優化的主要區別。

3.2 單目標多參數優化

分別以嚙合盤徑D和膨脹比σ為優化目標，以初始基圓半徑a和基圓變化系數k為共同優化參數進行優化，結果如圖5所示。其中：選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41。

由圖5可知，基于粒子群算法的單目標優化效率非常高，僅通過2或3次迭代就可以完成尋優。在以a和k為共同優化參數對單個目標進行優化時，嚙合盤徑D取得最小值93.374 5 mm時，膨脹比σ=4.306 0；膨脹比σ取得最大值6.253 9時，嚙合盤徑D=182.435 1 mm。由此可知，嚙合盤徑D和膨脹比σ可分別取得各自的最優值，但對應的σ和D并非最優。故對單個目標進行優化時，只能實現局部目標的最優。

3.3 多目標單參數優化

以1/D和σ為共同優化目標，分別以a和k為優化參數進行優化，結果如圖6所示。其中：圖6（a），選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41，a=3.2mm；圖6（b），選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41，k=-0.02。選擇對1/D而不是對D進行優化的原因在于：在多目標粒子群優化過程中，粒子只能向著同一種變化趨勢進行運動，即粒子的速度只能是朝著正向或者負向進行更新，當選擇D為優化目標時，粒子需要朝負向運動，而當選擇σ為優化目標時，粒子需要朝正向運動，為保證粒子的運動方向一致，選用作為優化目標。

在圖6中，黑點代表該次優化結束時所有粒子的適應度值，空心圓代表所有粒子在經過非劣解選擇后所保留的非劣解。

圖6 參數a和k單獨優化時多目標和σ的優化結果Fig.6 Optimization results of multi-objective and σ with parameter a and k optimized separately

為了更直觀地分析，分別從各優化目標的非劣解集中挑選3組非劣解進行分析，結果如表1所示。由圖6和表1可以看出，在其他條件不變的情況下，膨脹比σ增大時，嚙合盤徑D均會有所增大，即無法實現在膨脹比取得極大值的同時嚙合盤徑取得極小值。因此，在對變基圓半徑渦旋膨脹機進行型線設計時，可根據性能或尺寸優化的要求，來選擇相應的參數。

3.4 多目標多參數優化

以1/D和σ為共同優化目標，以a和k為共同優化參數進行優化，結果如圖7所示。其中：選取Rob=5.6155mm，α=2π/9，φe=20.41。為了更直觀地分析，從優化目標的非劣解集中挑選2組非劣解進行分析，結果如表2所示。

圖7 參數a和k同時優化時多目標和σ的優化結果Fig.7 Optimization result of multi-objective and σ with parameter a and k optimized simultaneously

表2 參數a和k同時優化時D和σ的非劣解Table 2 Non-inferior solutions of D and σ with parameter a and k optimized simultaneously

對比圖7和圖5可以看出，當以a和k為共同優化參數時，單目標優化時可得到一個最優解，而多目標優化時能得到一組非劣解。因此，可根據設計要求的側重點不同，選擇相對滿足要求的一組優化參數組合。

對比圖7與圖6可以看出，當以1/D和σ為共同優化目標時，單參數優化所得的優化目標取值范圍較小。這說明多優化目標、多優化參數的粒子群優化算法可以更加全面地對變基圓半徑渦旋型線進行優化。

4 結 論

當分別以D和σ為單獨優化目標時，可在a和k的取值范圍內分別得到D和σ的極值；若該極值不滿足設計要求時，可以參照a和k對D和σ的影響來調整其取值范圍，這可為初始參數的選取提供參考。

當以D和σ為共同優化目標時，可在a和k的取值范圍內得到一組非劣解，此時D和σ值是兼顧結構和性能要求的一組較均衡的解。

綜上，當對變基圓半徑渦旋膨脹機進行整體設計時，可根據其結構和性能的要求，選取滿足條件的初始基圓半徑a和控制基圓變化系數k。