雙軸聯動進給系統多目標優化設計與研究

蘇 芳，羅茹楠，劉艷明，王晨升,

（1.山西大同大學機電工程學院，山西大同037003；2.天津大學機械工程學院，天津300350）

高精度和高效率是機床加工的兩大目標。高精度、高速五軸聯動加工中心是我國國防工業制造領域的重要裝備［1-2］。機床的加工精度是被加工件加工質量的保障［3］。當前，表征機床加工精度的指標有定位精度、重復定位精度、輪廓誤差、跟蹤誤差及動態誤差等［4-5］。

在高速工況下，提高數控機床加工精度的方法主要有2類。一類是從機床機械結構出發，通過輕量化、結構優化等改善機械結構的靜/動態特性，以使它具備更高的動態精度［6-7］。當前，對于機床的研究，大多以進給系統為突破口，通過提高各進給系統的精度及速度，來有效地提高多軸聯動機床的性能指標［8-9］。如：文獻［10-11］介紹了針對進給系統的動態特性影響因素及影響規律的研究；文獻［12-13］針對滾珠絲杠進給系統開展了系統跟蹤誤差研究，并基于此開展了多軸聯動精度研究。另一類是從伺服控制系統出發，結合機械結構開展伺服控制系統優化及控制系統與機械結構的匹配優化，使機床在一定的控制手段下實現高精度的運動，從而提高其精度。在對機床進行廣泛研究的基礎上，通過各種優化方法獲得結構變量和控制變量的最優解，最終實現提高加工精度的目標。多目標優化是廣泛采用的優化方法之一［14-17］。該方法是針對系統多個變量，結合各類算法，在樣本空間內尋找最優解，以此來指導機床結構參數設計和伺服控制參數設置。文獻［18］提出了一種柔性滾珠絲杠進給傳動的最優非并列控制策略，可使滾珠絲桿進給傳動具有較佳的動態特性，且降低了傳感器的成本。

為實現圖1所示雙軸聯動進給系統的優化，筆者基于多目標優化方法開展工作。雙軸聯動進給系統多目標優化的流程如圖2所示，包括初始條件設置、試驗設計、試驗樣本點提取、仿真分析、響應面模型構建、擬合精度檢驗和目標函數優化等。

圖1 雙軸聯動進給系統Fig.1 Biaxial linkage feed system

圖2 雙軸聯動進給系統多目標優化的流程Fig.2 Multi-objective optimization process of biaxial linkage feed system

本文的優化研究是在前期工作的基礎上開展的，雙軸聯動進給系統機電耦合動力學模型的精度已得到驗證［5，8］。首先，選擇機械系統和控制系統的參數為設計變量；其次，根據已選定的設計變量，利用Box-Benhnken方法，提取設計空間范圍內的試驗樣本點，進而開展樣本點仿真分析，獲取對應的輪廓誤差和跟蹤誤差的響應值；再次，借助二次多項式擬合方法，對已獲得的試驗樣本點和試驗樣本點響應值進行擬合，構建響應面模型，并對響應面模型進行精度檢驗；然后，利用多目標優化遺傳算法NSGA-II（nondominated sorting genetic algorithm-II，非支配排序遺傳算法II），將設計目標作為優化目標，獲取該目標下的Pareto最優解集；最后，在Pareto最優解集中，根據優化目標的優先原則，選擇最佳參數，并根據仿真結果，輸出優化結果。

1 初始條件設置及試驗設計

1.1 初始條件設置

就多軸聯動數控機床而言，有效地控制各進給軸的跟蹤誤差及耦合特性是正向抑制輪廓誤差的方法之一，故選取雙軸聯動進給系統的輪廓誤差和單軸跟蹤誤差為設計目標。選取雙軸聯動進給系統的輪廓誤差為第1目標函數；由機床機械結構的特點可知，Z軸的慣量明顯大于X軸，故選擇Z軸的跟蹤誤差為第2目標函數；X軸的跟蹤誤差為第3目標函數。

結合前期的研究結果，選擇的設計變量及其取值范圍如表1所示。

表1 設計變量及其取值范圍Table 1 Design variables and their range of values

多目標優化的目標函數為：

式中：ε（x）——雙軸聯動進給系統的輪廓誤差；

ez（xi）——Z軸跟蹤誤差；

ex（xi）——X軸跟蹤誤差；

xi——設計變量；

ximin——設計變量的取值下限；

ximax——設計變量的取值上限。

1.2 試驗樣本點提取

根據選擇的設計變量，利用Box-Behnken方法提取試驗樣本點，提取結果見表2。

表2 試驗樣本點Table 2 Test sample points

基于所搭建的雙軸聯動進給系統機電耦合動力學模型［5］，在樣本空間內進行樣本點仿真，分別計算系統輪廓誤差及單軸跟蹤誤差，結果見表3。

表3 雙軸聯動進給系統輪廓誤差和單軸跟蹤誤差的仿真結果Table 3 Simulation result of contour error and uniaxial tracking error in biaxial linkage feed system

1.3 試驗結果分析

基于設計目標，對各設計變量進行靈敏度分析，以考察各變量對設計目標的敏感性，結果見圖3，其中，淺灰柱子表示設計變量對設計目標產生正效應，深灰柱子表示負效應。從圖3可知，Y向和Z向的滾珠絲杠導程、Y軸和Z軸的位置環增益對ε、ez和ex的影響較大，其他設計變量對設計目標的靈敏度均低于10%。由此可見，在機床設計、優化及控制過程中應更多地關注絲杠導程及位置環增益。

2 響應面模型構建及其擬合精度檢驗

2.1 響應面模型的構建

為提高響應面精度，選取精度較高的含交叉項的二次多項式進行各響應面擬合：

式中：f——擬合目標；

xi、xj——設計變量；

xi2——設計變量的非線性作用；

xixj——設計變量的耦合作用；

n——變量數目；

圖3 各設計變量對設計目標的靈敏度Fig.3 Sensitivity of design variables to design objectives

a0，ai，aii，aji——待定系數。

利用式（2）將表3的數據進行二次多項式擬合，可以獲得雙軸聯動進給系統輪廓誤差和Z軸、X軸跟蹤誤差的響應面模型fε、fz、fx，分別如式（3）至式（5）所示。

2.2 響應面模型擬合精度的檢驗

將多重決定系數R2和修正的多重決定系數Radj2作為評價指標對已構建的響應面模型的擬合精度進行評價。R2和Radj2的值越接近于1，表明響應面模型的擬合精度越高。

式中：SSE——試驗的殘差平方和；

SST——試驗的總平方和；

k——試驗次數。

經計算，各響應面模型擬合精度的評價指標如表4所示。雙軸聯動進給系統輪廓誤差和單軸跟蹤誤差的擬合曲線如圖4所示，設計目標對部分設計變量的三維響應面如圖5所示。由表4和圖4可知，響應面模型的擬合精度較高，因此，所建立的響應面模型準確。

表4 各響應面模型擬合精度的評價指標Table 4 Evaluation indexes of fitting accuracy of each response surface model

圖4 雙軸聯動進給系統輪廓誤差和單軸跟蹤誤差的擬合曲線Fig.4 The fitting curves of contour error and uniaxial tracking error in biaxial linkage feed system

3 雙軸聯動進給系統的優化

采用多目標優化遺傳算法NSGA-II對雙軸聯動進給系統進行優化設計。NSGA-II的參數設置如表5所示。經過NSGA-II優化，可得雙軸聯動進給系統的Pareto最優解集，如圖6所示。

表5 NSGA-II的參數設置Table 5 NSGA-II parameter setting

根據設計目標順序在Pareto最優解集中選擇設計變量的最優值，如圖7所示。

雙軸聯動進給系統多目標優化的結果，如表6所示。由表6可知，優化后雙軸聯動進給系統的輪廓誤差由 3.68 μm 降低到 1.48 μm，Z軸的跟蹤誤差由1.583 14 mm降低到1.083 37 mm，X軸的跟蹤誤差由1.583 14 mm降低到1.092 87 mm，三者降幅均超過30%，優化效果明顯。

圖5 設計目標對部分設計變量的三維響應面Fig.5 The 3D response surface of the design objective to some design variables

圖6 雙軸聯動進給系統的Pareto最優解集Fig.6 Pareto optimal solution set of biaxial linkage feed system

圖7 雙軸聯動進給系統多目標優化的Pareto最優解Fig.7 Pareto optimal solution of multi-objective optimization of biaxial linkage feed system

表6 雙軸聯動進給系統多目標優化結果Table 6 Multi-objective optimization results of biaxial linkage feed system

優化結果表明，在機床設計階段綜合考慮機械結構參數和控制系統參數對機床輪廓誤差和跟蹤誤差的影響，可以有效提高機床整機的動態設計精度，滿足機床的設計要求，最終提高工件的加工質量。

4 結論

在前期研究的基礎上，利用響應面法、靈敏度分析及遺傳算法，以雙軸聯動進給系統的輪廓誤差及Z軸、X軸的跟蹤誤差為優化目標，以滾珠絲杠導程、結合面軸向剛度、電機轉矩系數和位置環增益等為設計變量，對雙軸聯動進給系統開展了多目標優化設計研究。結果顯示，進給系統的結構參數及控制系統參數對優化目標的敏感度不同。因此，在實際優化過程中應根據不同的敏感度采取不同程度的優化。由對比優化前后雙軸聯動進給系統的輪廓誤差及Z軸、X軸的跟蹤誤差可知，優化后各誤差降幅均在30%以上，取到了良好的優化效果。機床實際運行過程較為復雜，雙軸聯動只是其工況之一，在后續工作中，將對三軸、五軸聯動進給系統加工精度的影響因素展開研究，并通過實驗對優化方法進行多方面驗證。