完全正則半群和幺半群上的Rees 矩陣半群

黎宏偉

（宿遷學院數學系，江蘇 宿遷223800）

1 預備知識

其中 P =[ pλi],pλi∈ H1, λ , μ ∈Λ, i ,j ∈I,則S 關于此運算構成半群,稱為幺半群上的Rees 矩陣半群,記作S = M [ A; I , Λ; P].設A 是含幺Clifford 半群, 則 S = M [ A; I , Λ; P]是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群.設含幺Clifford 半群A 是群{Ge|e ∈ E ( A)}的強半格,由文[3]知Se= M [ Ge; I , Λ; P]是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群S = M [ A; I , Λ; P]的子完全單半群,且S 是它的子完全單半群{Se}的強半格.根據文[3]的結論可知含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群是完全單半群。

文[3]研究了含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群S 的性質,給出了S 的正規(guī)加密群結構,指出正規(guī)加密群是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群當且僅當它是幺半群上的Rees 矩陣半群.由文[3]知正規(guī)加密群是一種特殊的完全正則半群,如果把正規(guī)加密群改為普通的完全正則半群,那么當幺半群上的Rees 矩陣半群是完全正則半群的時候, 它會是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群嗎?本文對這個問題進行了研究,證明了下面的定理:

定理1 完全正則半群是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群當且僅當它是幺半群上的Rees 矩陣半群.

2 幾個引理

設S 是完全正則半群,則S 是它的子完全單半群{Sα=M [Ge; Iα, Λα; Pα]|α ∈ Y }的半格,即 S =(Y , Sα),其中e 是群Ge 的單位元,則可以證明下面的引理.

引理1 設完全正則半群S 是它的子完全單半群{Sα=M [Ge; Iα, Λα; Pα]|α ∈Y }的半格, 且S 是幺半群上的Rees 矩陣半群,即 S = M [ A; I , Λ; P],其中A 是幺半群,則Iα= I ,Λα=Λ.

但 Sα是S 的子完全單半群,而 ( a , iα, λ )∈Sα,故( a , iα, λ)∈ S,這與 ( a , iα, λ )?S矛盾.故假設不成立,即Iα?I.

再證 Iα= I.假設 Iα≠ I,則存在 i。 ∈I,但 i。 ?Iα.

設(i, λ )∈ Iα×Λα,顯然 (i 。 , λ )? Iα×Λα.于是任意的 a ∈ Ge,有 ( a , i。 , λ )?Sα，但 ( a , i。 , λ )∈S.

故( a , i。 , λ ) L ( a , i, λ).

由[4]知 ( a , i。 , λ ) J ( a , i, λ).

由于 Sα是S 中的J 類且 ( a , i, λ)∈Sα，故( a , i。 , λ )∈Sα.這與 ( a , i。 , λ )?Sα矛盾。

故假設不成立，于是可得 Iα= I.同理可證 Λα=Λ.引理1 得證。

引理2 設 Sα= M [Ge; I , Λ; Pα]是S = M [ A; I , Λ; P]任一J 類,則

由引理2 可知S 任一J 類可以表示為

Sα= M [Ge; I , Λ; P].

引理3 設完全正則半群S 是幺半群上的Rees 矩陣半群,即S = M [ A; I , Λ; P],其中A 是幺半群,且S 是它的子完全單半群 {Sα= M [ Ge; I , Λ; P] |α ∈ Y }的半格,則A 是{Ge}的不交并集。

證明:由[4]知S 是它的子完全單半群 {Sα}的并集,從而可得A 是 {Ge}的并集。設

Sα= M [Ge; I , Λ; P]和Sβ= M [Gf; I , Λ; P]是S 的兩個不同的子完全單半群,由[4]知 Sα和 Sβ的交集是空集,從而可得Ge和Gf的交集是空集.故A 是 {Ge}的不交并集.

由于 Sα和 Sαγ是S 中的J 類, ( a , i , λ)∈Sα且( a , i, λ )∈ Sαγ,故 Sα和 Sαγ是S 中的同一個J 類,即Sα= Sαγ.由 (b a , i, λ )∈ Sαγ可得 ( ba , i, λ )∈Sα,于是ba ∈ Ge.同理可證 ab ∈Ge.引理4 得證.

設Sα=M [Ge; I , Λ; P ], Sβ=M [Gf; I , Λ; P]是S = M [ A; I , Λ; P]的兩個J 類.

引理5Sαβ= M [Gef; I , Λ; P]

證明:設 Sαβ= M [Gh; I , Λ; Pαβ],

( a , i, λ) ∈Sα,( b, i, λ)∈Sβ.

設x =(e f )-1∈Gh,則(e f ) x = efx = h, x( e f )= xef =h 由( fxe)2=f ( xef )xe = fhxe =fxe知fxe 是Gh中的冪等元,因此, fxe =h.由于

( ef )( fxe) ( ef ) = ef2xe2f = efxef = e( fxe) f = ehf =ef,( fxe) (e f )( fxe) = fxe2f2xe = fxefxe = ( fxe)2=fxe,故ef = ( fxe)-1= h-1=h .同理可證fe=h.故Sαβ= M [Gh; I , Λ; Pαβ] = M [Gef; I , Λ; Pαβ].

3 證明定理1

(? )設S 是完全正則半群, 若S 是含幺Clifford 半群上的Rees 矩陣半群，則S 顯然是幺半群上的Rees 矩陣半群.

(? )設S 是完全正則半群, 且S 是幺半群上的Rees 矩陣半群,即 S = M [ A; I , Λ; P],其中A 是幺半群,其單位元是1A.由S 是正則半群知A 是正則半群.

由引理3 知A 是子群 {Ge}的不交并集,下證A 是子群{Ge}的半格。

設Sα=M [Ge; I , Λ; P ], Sβ=M [Gf; I , Λ; P]是

由文[6]知A 是Clifford 半群,又因為A 是幺半群,故A 是含幺Clifford 半群, 進而可得 S = M [ A; I , Λ; P]是含幺Clifford半群上的Rees 矩陣半群.定理1 得證。