巧用符號表征過程 構建模型提升素養

馬駿 魯藝

[摘要]感悟建模過程、發展模型思想是提升學生核心素養，促成深度學習的重要方式之一。小學數學建模的教學可歸納為四個步驟：模型準備、模型假設、模型構成、檢驗應用。四個步驟相輔相成、缺一不可。

[關鍵詞]小學數學;倒水問題;數學模型;數學語言

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）29-0023-03

“倒水問題”是一類典型的運用丟番圖方程進行解答的問題。在小學階段，倒水問題的教學往往被兩點所困擾，一是如何簡明直觀地向學生呈現倒水的各項操作過程，二是如何引導他們剖析其中的過程并找出解題之法。筆者從芬蘭“無電腦編程”的算法思維教學中得到啟示，參考西南師范大學出版社出版的《數學文化》五年級下冊的“分飲料”一課，從培養學生的模型思想出發，設計了相應的數學文化課例。

一、模型準備——根據問題，構建符號表征系統

數學模型是應用具象化數學語言來表現抽象化數學知識的方式。因此，構建數學模型首先要充分收集并整理相關信息，在學生了解了這一類問題的基礎上，探索用更簡單明了的方式來描述。

（例1：現有一大一小兩個水桶，但都沒有刻度，大桶能盛放5L水，小桶能盛放4L水，假設現在有無限多的水，請問如何才能通過這一大一小兩個桶準確得到3L水呢？）

生1：先把小桶灌滿水，然后倒入大桶，大桶里就有4L水。再把小桶灌滿水，接著往大桶里倒，直到大桶灌滿（即大桶里倒入了1L水），這時小桶里就有3L水。

師：這里有一個表格（如表1），大家能不能用一種簡單明了的方法來展示每一步的操作過程呢？

生2：可以用“一小”表示把小桶接滿水，用“小一大”表示把小桶的水倒給大桶，用“大一”表示把大桶里的水倒出去。

師：請同學們根據自己設計的方法來填寫。

師：一大一小兩個桶的倒水問題，還可能會出現哪幾種操作？

生3：除了上面三種外，還有“→大”“大→小”和“小→”。

師：如果把一大一小兩個桶看成一個整體，這六種操作可以分為幾類？

生4：分為三類。一是進水，總水量增加;二是水從一個桶到另一個桶，總水量不變;三是把水倒出去，總水量減少。

師：水從一個桶到另一個桶，總水量不變，我們可以稱為內部操作;另外兩類總水量發生變化，我們可以稱為外部操作。

在模型準備階段，需要給予學生充分的空間，使他們初步認識、感知這類問題，發揮創作才能，設計出符合自身認知的符號化語言。接著，讓學生在教師的引導下，對操作進行分類，為下一步的模型假設和構成奠定基礎。

二、模型假設——簡化過程，分析提煉內涵規律

模型假設是將收集到的信息進行簡化的過程，要抓住其主要矛盾，忽略無關信息的影響。在教學過程中，要充分利用模型準備階段所確立的表征系統，豐富學生對于倒水問題的感受，再從內部操作和外部操作兩個維度來簡化問題。

師：將上面的題目稍加修改，變成一個新問題。

（例2：現有一大一小兩個水桶，但都沒有刻度，大桶能盛放5L水，小桶能盛放3L水，假設現在有無限多的水，請問如何才能通過這一大一小兩個桶準確得到4L水呢？）學生方案如下：

師：請仔細觀察表3、表4，說說你有什么發現？

生1：我發現方案一的水都是從大桶到小桶，方案二的水都是從小桶到大桶。也就是說，每種方案的內部操作只有一種。

師：真棒！剛才研究了內部操作，那外部操作呢？又有什么發現？

生2：我發現，同一個方案里，一個桶只負責進水，另一個桶只負責倒水。

師：為了方便起見，我們把進水的桶稱為1號桶，倒水的桶稱為2號桶。在同一個方案里，內部操作是從1號桶到2號桶，水的流向是單一的;外部操作都是從1號桶進，2號桶出，功能唯一。

通過對兩種方案的對比分析，從看似繁雜的步驟中捕捉共同點，逐漸梳理出內部操作和外部操作規律的唯一性，從高處著眼，總結并簡化了問題的操作步驟。

三、模型構成——建立聯系，數學語言概括表達

教師需引導學生利用數學工具來描述信息以及信息中各種對象之間的關系，逐步串聯起內部操作和外部操作，透過現象看本質，從局部躍遷到整體，建構出數學模型。

師：回顧一下，無論是哪個方案，第一步是什么操作？第二步呢？

生1：第一步是外部操作，第二步是內部操作，第三步又是外部操作，第四步又是內部操作……內外部操作交替進行。

師：觀察方案一，第一步給1號桶裝滿水，第二步將水從1號桶倒入2號桶里，如果2號桶里的水沒裝滿，看看下面又是什么操作？

生2：繼續給1號桶裝滿水，再往2號桶里倒。

師：如果2號桶的水裝滿了，還沒得到想要的4L水，這時該怎么辦？

生3：把2號桶里的水倒掉，然后把1號桶里剩下的水倒入2號桶。

師：再繼續看剩下的步驟，你有什么發現？

生4：剩下的操作其實一直在重復之前的步驟，直到出現4L水。其實當1號桶確定之后，整個操作一直在重復如圖1所示的步驟。因此，只要明確1號桶進幾次水，2號桶倒幾次水，中間的步驟就按照2號桶已滿和未滿兩種情況來處理，直到得到4L水。

師：按生4所說，只看外部操作和最后結果（如表5），你有什么發現？

生5：我列了一個算式3x3-5x1=4，其中“3x3”表示3L的桶進水3次，“5X1”表示5L的桶倒水1次。

師：用同樣的方法，你們能給方案一也列出一個這樣的算式嗎？

生6：5x2-3x2=4，其中“5x2”表示5L的桶進水2次，“3x2”表示3L的桶倒水2次。

師：我們可以總結出“進水桶的容積×進水次數一倒水桶的容積×倒水次數=目標體積”的公式。

以問題為引導，結合板書，以數形結合的形式啟發學生觀察并梳理其中所蘊含的規律，得出倒水問題其實是在交替進行內外部操作，兩種操作是非此即彼的關系。因此，只需將目光聚焦于外部操作，就可以把整個過程用數學算式表示出來，并在此基礎上進一步總結出數量關系式，得出數學模型。

四、檢驗應用——投入實踐，內化模型推廣延伸

模型思想是一種高層次的數學思維方式。在應用形象化的數學語言將相對抽象的數量關系初步描述之后，再對模型進行檢驗并利用模型求解，完成從理論到實踐的跨越，這也是數學學科嚴謹性和實用性的體現。

師：總結得到的這個數量關系式有什么用途呢？

生1：可以根據數量關系式，列算式并算出進水次數和倒水次數，進而解決倒水問題。

師：那就按照大家的說法來試一試，看可不可行。

（例3：現有容積為7L和11L的桶各一個，但都沒有刻度，假設現在有無限多的水，想要準確量出IOL水，你會怎么辦？）

生2：經過嘗試，我發現選擇7L的桶來進水比較容易，算式是7x進水次數-11X倒水次數=10，進水3次，倒水1次，就能得到10L水，具體步驟如表6所示。

師：同學們，像倒水問題這樣總是循環往復操作的問題，誰比較擅長呢？

生3：計算機。

師：沒錯！在生產中常使用計算機編程來解決類似的問題，而今天我們的研究思路和編程語言里的if語句不謀而合。

師：大家看，針對同一個問題，既可以用口頭語言來敘述每個操作過程，也可用表格來展示，還可以用數學算式來表達。說到這里，你有什么感受嗎？

生4：我覺得數學算式是其中最簡單的表達方式。

師：這就是數學的簡潔之美！

以上教學環節，先讓學生驗證模型的實用性，再將數學語言與編程語言相聯系，拓寬了課堂的視野和格局，最后通過幾種表達方式的對比，讓學生體會到數學語言簡潔的特點。

綜上所述，模型思想是體現數學邏輯思維價值，提升學生數學素養，幫助人們掌握并發現事物本質，深層理解核心關鍵的重要思想方法。同樣，以培養學生數學建模素養為驅動的教學設計也是實現課堂深度學習的重要方式，值得一線教師進行深耕。

（責編李琪琦）