特色課程：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合化

季鳳茂

[摘要]通過(guò)數(shù)學(xué)特色課程這個(gè)載體，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、其他學(xué)科知識(shí)、現(xiàn)實(shí)世界等關(guān)聯(lián)起來(lái)，打破學(xué)科之間的壁壘;把學(xué)習(xí)的時(shí)空拓展到家庭和社會(huì)，打破學(xué)習(xí)時(shí)空的局限;引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、嘗試、探究、合作，打破學(xué)習(xí)方式的固化，讓教與學(xué)變得可見(jiàn)，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成為有廣度、有深度和有力度的綜合化學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]特色課程;綜合化;折扇;關(guān)聯(lián)

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）29-0021-02

聯(lián)合國(guó)教科文組織出版的《反思教育：向“全球共同利益”的理念轉(zhuǎn)變》指出：“當(dāng)今世界格局正在發(fā)生劇變，其中涉及學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)空間。”在課程建設(shè)的過(guò)程中，很多學(xué)校重視特色課程的建設(shè)，借此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。折扇和數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，制扇大師鄭寶元說(shuō)過(guò)，他的制扇基礎(chǔ)就是源自看上去與制扇毫不相關(guān)的學(xué)科——數(shù)學(xué)。現(xiàn)以我校數(shù)學(xué)特色課程中“折扇中的數(shù)學(xué)”為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)特色課程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合化。

一、內(nèi)容關(guān)聯(lián)，走向有廣度的數(shù)學(xué)綜合化學(xué)習(xí)

1.內(nèi)容選擇

折扇是生活中的日用品，也是生活中的藝術(shù)品，還是生活中的裝飾品，多重“身份”的綜合更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，誘發(fā)學(xué)生的探究欲望。數(shù)學(xué)特色課程需要聚焦數(shù)學(xué)，所以在選擇學(xué)習(xí)材料時(shí)首先要關(guān)注材料的數(shù)學(xué)價(jià)值。“折扇中的數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)成分不是一個(gè)點(diǎn)，而是發(fā)散的點(diǎn)，需要學(xué)生把這些點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來(lái)。折扇中的數(shù)學(xué)元素表面上看起來(lái)只有扇形這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其實(shí)還涉及統(tǒng)計(jì)（日常生活中人們扇子的擁有量）、分類(lèi)（按功能分、材質(zhì)分、地域分）、計(jì)算、黃金分割（折扇的圓心角的度數(shù)和平角的度數(shù)比、扇面的環(huán)寬和扇骨長(zhǎng)度的比）和等分（扇面平均分成的份數(shù)和扇骨有什么關(guān)系）等知識(shí)點(diǎn)。

2.問(wèn)題解決

“折扇中的數(shù)學(xué)”沒(méi)有直接拋出數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是由教師提供現(xiàn)成的扇骨，讓學(xué)生根據(jù)扇骨制作折扇。表面上這是一個(gè)手工制作的問(wèn)題，和數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)聯(lián)度不高，但是在制作的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)困惑，這就需要學(xué)生調(diào)取已掌握的數(shù)學(xué)策略來(lái)解決問(wèn)題：扇面的環(huán)寬是多少？扇面的圓心角是多少度？扇面平均分成多少等份？等份數(shù)和什么相關(guān)？沒(méi)有一個(gè)是告訴式的問(wèn)題，都是生成性、自主發(fā)現(xiàn)式的問(wèn)題。

要制作一把折扇，得知道扇面的大小。要確定扇面的大小首先要確定圓心角的度數(shù)，涉及度數(shù)的測(cè)量;扇面的大小還和扇面的環(huán)寬有關(guān)，涉及扇形面積的計(jì)算;扇形圓心角的度數(shù)和圓周角剩余度數(shù)的比是多少，扇形環(huán)寬和扇骨長(zhǎng)度的比是多少，涉及黃金比……制作出科學(xué)美觀的折扇扇面需要掌握相當(dāng)多的知識(shí)。

二、過(guò)程遞進(jìn)，走向有深度的數(shù)學(xué)綜合化學(xué)習(xí)

1.從隨意開(kāi)始

學(xué)習(xí)的初始階段是有效先學(xué)，教師沒(méi)有給學(xué)生精確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，也沒(méi)有指定明確的學(xué)習(xí)路徑。學(xué)生在既往的學(xué)習(xí)過(guò)程和生活過(guò)程中，已經(jīng)掌握了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成一定的數(shù)學(xué)能力，積累了較為豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這些都為數(shù)學(xué)特色課程的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

我們針對(duì)“折扇中的數(shù)學(xué)”設(shè)計(jì)了研學(xué)單，研學(xué)單只有兩個(gè)問(wèn)題，一是“簡(jiǎn)要描述我所認(rèn)識(shí)的折扇”，二是“畫(huà)一幅折扇的結(jié)構(gòu)圖”。在畫(huà)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，學(xué)生都會(huì)想到需要運(yùn)用和扇形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，只不過(guò)用到什么程度還不是十分清晰，處于一種低水平的階段;學(xué)生都知道需要把扇面進(jìn)行等分，但等分時(shí)卻是隨意的，在隨后會(huì)發(fā)現(xiàn)隨意等份數(shù)并不能制作出完美的折扇……

2.到有意進(jìn)行

學(xué)生在根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了初步嘗試后，會(huì)遇到各種問(wèn)題。教師不要急于對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià)，更不要急于告訴學(xué)生解決問(wèn)題的方法，而是對(duì)學(xué)生遇到的這些問(wèn)題給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，為學(xué)生運(yùn)用什么知識(shí)和策略來(lái)解決問(wèn)題指明方向。

在研究的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要是用來(lái)引風(fēng)降溫的折扇，盡管規(guī)格各不相同，但圓心角都在138°左右。為什么扇形圓心角的度數(shù)都在138°左右呢？通過(guò)探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓心角的度數(shù)是由兩個(gè)因素決定的：一是適用性，圓心角的度數(shù)小了，風(fēng)量不足;圓心角的度數(shù)大了，操作起來(lái)不方便。二是美觀性，當(dāng)圓心角在138°左右時(shí)，138°÷（360°-138°）≈0.622，0.622非常接近黃金比0.618。

3.向深度邁進(jìn)

數(shù)學(xué)特色課程，是教科書(shū)的一種補(bǔ)充，更是一種拓展。數(shù)學(xué)特色課程更重視實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè)，呈現(xiàn)的不是某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是多個(gè)離散的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生需要把這些看似離散的知識(shí)點(diǎn)勾連起來(lái)，使之結(jié)構(gòu)化。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界不是發(fā)現(xiàn)而是創(chuàng)造，是能夠自主遷移，靈活運(yùn)用習(xí)得的知識(shí)、技能嫻熟解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。學(xué)生在研究“折扇中的數(shù)學(xué)”時(shí)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是圓心角和圓周角剩余度數(shù)的比是黃金比，扇面的環(huán)寬和扇柄長(zhǎng)度的比也是黃金比。學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和制扇大師鄭寶元的創(chuàng)作不謀而合，他在談制扇體會(huì)時(shí)曾說(shuō)：“制扇通常是憑經(jīng)驗(yàn)，或者約定俗成，沒(méi)有科學(xué)的理論依據(jù)，很難統(tǒng)一，甚至影響美觀。我經(jīng)過(guò)反復(fù)琢磨，采用數(shù)學(xué)中的‘黃金分割定律確定扇肩的位置，使扇形發(fā)生變化，扇子更加美觀。”可見(jiàn)，這不僅是發(fā)現(xiàn)，學(xué)生還把數(shù)學(xué)主動(dòng)運(yùn)用于折扇的制作。

三、方法靈活，走向有力度的數(shù)學(xué)綜合化學(xué)習(xí)

1.時(shí)空延展

學(xué)習(xí)時(shí)間。特色課程的學(xué)習(xí)時(shí)間不局限于一節(jié)課的四十分鐘。教師可提前一個(gè)星期布置學(xué)習(xí)任務(wù)，這一個(gè)星期的時(shí)間包含有充分自主權(quán)的雙休日，這樣學(xué)生就有了充足的學(xué)習(xí)時(shí)間。一個(gè)星期后的四十分鐘的課堂教學(xué)主要用于交流討論、展示質(zhì)疑。

學(xué)習(xí)空間。數(shù)學(xué)特色課程具有開(kāi)放性，課內(nèi)和課外、校內(nèi)和校外、線上和線下都是學(xué)習(xí)的空間。這樣的學(xué)習(xí)不是一種注入，而是一種探究和自主發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以開(kāi)展調(diào)查研究、實(shí)驗(yàn)操作、資料檢索，對(duì)于大多數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生都是在校外完成的。學(xué)校還注冊(cè)了特色課程專(zhuān)題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，學(xué)生可以在網(wǎng)站發(fā)表自己的見(jiàn)解，提出自己的問(wèn)題。

學(xué)習(xí)伙伴。學(xué)習(xí)不僅僅是個(gè)體的行為，學(xué)習(xí)伙伴是學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)的需要自主尋找的，可能是自己班級(jí)的同學(xué)，可能是教師（包括其他班級(jí)的教師、相近學(xué)科的教師），可能是父母，還可能是一些專(zhuān)業(yè)人士。有一個(gè)學(xué)生在交流的時(shí)候就提到，他爸爸是高中物理教師，他和爸爸通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)探究風(fēng)量和扇面大小之間的關(guān)系，然后確定扇面的大小。

2.過(guò)程可見(jiàn)

教師毋庸置疑會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，但不是所有教師都清楚地知道自己什么樣的教學(xué)行為會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生正向的影響;同樣也不是所有的學(xué)生都清楚地知道什么樣的學(xué)習(xí)方式會(huì)對(duì)自己的學(xué)習(xí)產(chǎn)生正向的促進(jìn)。新西蘭教育家約翰·哈蒂把這樣的學(xué)習(xí)稱(chēng)之為可見(jiàn)的學(xué)習(xí)，他認(rèn)為教師要成為自己教學(xué)的學(xué)習(xí)者，學(xué)生要成為自己學(xué)習(xí)的教學(xué)者。

做中學(xué)。“做中學(xué)”不是僅僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，或者說(shuō)僅僅為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也不是更重視學(xué)生的操作實(shí)踐。“做中學(xué)”的本質(zhì)是指讓學(xué)生真正參與到學(xué)習(xí)的活動(dòng)中去，在活動(dòng)中促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)技能的形成。在學(xué)習(xí)的初始階段，不要求學(xué)生去尋找折扇中的數(shù)學(xué)元素，而是讓學(xué)生設(shè)計(jì)一幅折扇的結(jié)構(gòu)。這是一個(gè)比較寬泛的學(xué)習(xí)要求，但要畫(huà)出科學(xué)完美的折扇結(jié)構(gòu)圖，就必須運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生課前自主探究時(shí)，有的是通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法得出結(jié)論，有的是通過(guò)請(qǐng)教他人得出結(jié)論，還有的是通過(guò)上網(wǎng)檢索得出結(jié)論……學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的方法特別認(rèn)同。

合作學(xué)。這里合作有三點(diǎn)要素：一是合作是因?yàn)樾枰呛献鲗?duì)象自主，三是成果分享。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)扇面等份數(shù)和扇骨的關(guān)系是2n-l，需要根據(jù)這個(gè)關(guān)系將扇形平均分成若干等份，學(xué)生僅僅憑借手頭的學(xué)具是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。教師在教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)引入計(jì)算機(jī)軟件中的幾何畫(huà)板，通過(guò)幾何畫(huà)板中的迭代和構(gòu)造功能，實(shí)現(xiàn)了扇形的精確等分。這樣，通過(guò)人與計(jì)算機(jī)合作，突破了探究難點(diǎn)。

遷移學(xué)。遷移的意識(shí)和能力可以給學(xué)生帶來(lái)持續(xù)的學(xué)習(xí)動(dòng)力和積極性。數(shù)學(xué)特色課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是幫助學(xué)生運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)點(diǎn)化和提升學(xué)生的思維水平，繼而解決客觀世界中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此在教學(xué)的過(guò)程中，不僅僅著眼于學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要著眼于學(xué)習(xí)的過(guò)程，著眼于學(xué)習(xí)結(jié)果成因的判斷。要形成遷移的能力，需要關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。思維能力提升后，學(xué)生不僅能靈活運(yùn)用舊知識(shí)，而且懂得如何獲得新知識(shí)，把獲得的新知識(shí)融人舊知識(shí)的體系中去，通過(guò)獲得新知識(shí)來(lái)解決舊知識(shí)解決不了的新問(wèn)題。在研究“折扇中的數(shù)學(xué)”時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一些新問(wèn)題，如扇面的等份數(shù)和扇骨的根數(shù)是相關(guān)的，那扇骨的根數(shù)又是由什么決定的呢？新問(wèn)題雖然具有挑戰(zhàn)性，但學(xué)生還是自主解決了。這是因?yàn)橐延袉?wèn)題的解決為新問(wèn)題的解決提供了可借鑒的脈絡(luò)，提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)特色課程讓教師回到教的起點(diǎn)去反思“教什么”和“怎么教”;數(shù)學(xué)特色課程讓學(xué)生回到學(xué)的原點(diǎn)去體驗(yàn)“學(xué)什么”和“怎么學(xué)”。數(shù)學(xué)特色課程的學(xué)習(xí)更多地關(guān)注過(guò)程、關(guān)注思維、關(guān)注生命、關(guān)注體驗(yàn)、關(guān)注運(yùn)用，更逼近真實(shí)生態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，真正讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合化。

（責(zé)編金鈴）