如何讓數學課更有“數學味”

周衛東

[摘要]長期的課堂教學實踐使我們認識到，倘若在課堂教學中注重數學內容的揭示、教給學生數學知識的同時，還能揭示知識的發生發展過程，揭示解題方法和規律的抽象概括過程，讓學生較為深入地領悟數學的內涵（即“數學味”），一定能促進學生數學素養的全面提升。在教學內容中找尋“數學味”的配方，在教學過程中探尋“數學味”的實質，在數學思想中觸碰“數學味”的靈魂，在數學文化中品嘗“數學味”的芳香，才能讓數學課更有“數學味”。

[關鍵詞]數學味;教學內容;教學過程;數學思想;數學文化

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0001-03

追求“數學昧”永遠是數學教學的第一要務。要讓數學課有“數學味”，不是一種簡單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數學”放到湯碗里攪拌一下，就會出現有“數學”味道的湯，而應該對數學學科的內涵進行系統思考，并進行“智慧加工”，使之逐漸彌漫出“數學”的芳香，從而潤澤學生的數學素養。

一、在教學內容中找尋“數學味”的配方

從教材的編排體系來看，數學教材由兩條“河流”組成：由具體知識構成的、易于被發現的“明河流”和由數學內涵構成的、具有潛在價值的“暗河流”。這兩條“河流”是骨架與血脈的關系。有了數學內涵做靈魂，各種具體的數學知識才不成為孤立的、零散的東西。正因為有了數學內涵，“游離”狀態的知識才會凝結成優化的知識結構，形成一個有機的整體。只有做到“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西”（蘇步青），充分挖掘數學教材中的靈魂——數學內涵，用數學內涵引領課堂教學，才能高屋建瓴，提契整個知識體系，進行再創造、再建構。

比如，人教版教材一年級上冊中的“1-5的認識”，以一個溫馨興旺的農家生活“大場景”，引導學生正確建立“1-5”各數的概念。教材蘊含著從不同的角度對數進行抽象的數學思想：關于1，有1位老奶奶、1個面盆和1只可愛的小狗;關于2，有2只鵝、2個竹筐、2個雞食盤;關于3，有3只鳥、3盆花……畫面的多姿多彩，不僅僅是為了美觀，還充分說明：同一個數，可以表示植物的多少也可以表示動物的多少，可以表示有生命事物的多少，也可以表示無生命事物的多少，可以是灰色的，也可以是彩色的，表明元素的多少與物體的屬性沒有關系;在確定一個集合的元素有多少時，不需要用完整的物體來表示，可以用物體的一個部分來表示，但這一部分必須和物體存在一一對應的關系;在確定一個集合的元素有多少時，表示的不僅僅可以是地上的物體，也可以是天上飛的，這說明對數的抽象無處不在，世界上到處充滿數。只有意識到這些數的“內涵”，數學教學才能走得更遠，才能更具生長力。

從教學層次的角度來分析，數學課堂教學設計應分宏觀設計、微觀設計和情境設計，教學設計應充分從這三個層面進行分析、思考。無論哪個層次上的設計，其目的都是讓學生參與到獲得和發展認知的數學活動中。因此，教學設計不能只停留在數學認識過程中的“還原”，更應該有數學內涵的飛躍和創造。

以空間與圖形領域中“圖形與位置”內容的安排為例。這部分內容主要包括二年級用“第幾排第幾個”的方式描述物體的位置，五年級用“數對”表示方格圖上點的位置，以及六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。上述內容中所蘊含的數學內涵主線是“依據小學生的年齡特點和認知水平，讓他們逐步感知數與平面圖形上點的關系，培養符號感，體會數形結合的基本方法和價值”。其中，用“第幾排第幾個”的方式描述物體的位置，主要著眼于學生已有的生活經驗;用“有序數對”表示方格圖上點的位置，則是對生活經驗的提煉，也是對感性認識的提升;用”方向和距離”確定平面圖上點的位置，其基本思想與用“數對”表示點的位置是類似的，但它引導學生從不同角度認識相關數學知識的內涵。因此，這就需要搞清楚不同內容應怎樣概括共性，相似內容應該怎樣區別個性，而要順利地完成這一任務，必須依靠數學內涵作為核心指導，有了深刻的數學內涵做指導，才能設計出智慧靈動的教學思路，才能引發學生創造性的思維活動。

二、在教學過程中探尋“數學味”的實質

數學內涵往往呈隱蔽形式，沉積、凝聚在數學結論的背后，常常滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。著名數學家波利亞認為：“學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”教師應該有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，積累數學活動經驗，提升數學思考的能力。只有如此，學生所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學習才是充滿智慧的。

在人教版教材五年級上冊“用數對確定位置”一課的教學中，我努力使學生獲得有價值的思維空間，體驗到數學的價值和魅力。

在學生掌握了用數對描述位置的基本方法后，我創設以下問題，以引發學生的數學思考。

師：小明在運動之前的位置是（3，4），現在的位置是（7，4），你能看出這兩個數對之間的聯系嗎？

生1：這兩個數對的后一個數都是4。

生2：后一個數之所以沒有變化，是因為他運動的前后都在同一行，所以后一個數都是4。

生3：我看出了前一個數由3變成了7，是因為他向東走了4格。

生4：用3加上4就是7了。

師：不簡單！假如小明向東走了20格，他的位置是多少？如果向東走了50格，位置又是多少呢？

師：小明改變了運動方式，他運動后的位置是（3，20），你知道他是怎么走的嗎？

生5：我認為小明是向北走的。

生6：我同意生5的意見，而且小明走了16格。

師：看得出，同學們對方格圖上點的位置變化已經掌握得比較清晰了。不妨再深入思考，以點（3，4）為例，你是怎么找到這個點的？

師：你認為哪幾根線可以決定這個點的位置？（學生分別指出表示第3列的直線和表示第4行的直線）

師：咱們的思考不妨再深入一點。這兩根線又是由哪些線決定的呢？（學生感受到問題很有意思，非常興奮;有學生指出最左邊和最下面的兩條線）

師：其實，有了這兩條線，也就能決定圖中任何一點的位置。沒想到，我這一帶，竟帶出了一群中學生，這一知識將在中學的學習中有進一步的研究。

在此教學片段中，教師采取數形結合的方式，抓住運動前后數對的變化，引導學生分析、對比、想象、概括，得出了數對的變化規律，有效地訓練了學生觀察、對比、抽象、概括等多元的數學能力。讓學生在方格圖中找點，體會到找點的方法，再通過“是怎樣的線條決定了方格圖中點的位置”，感悟縱橫交錯兩條線的作用，進而得出橫軸和縱軸在確定位置中的作用，凸顯了確定數對時的關鍵點。課上教師的一句“這一帶，竟帶出了一群中學生”，潤物無聲的知識結構滲透，讓學生在感受符號體系的過程中感受到相應的數學價值，幫助學生建立起大數學的宏觀視野。

三、在數學思想中觸碰“數學味”的靈魂

“在一切方法的背后，如果沒有一種生機勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具。”這里的精神指的就是數學思想。從哲學角度來看，“思想”即“觀念”，即社會存在于意識中的反映。而所謂數學思想，是人們對數學研究統一的本質性認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是被人們反復運用和確認，且帶有普遍意義和相對穩定的特征的，它直接支配著數學的實踐活動.是對數學規律的理性認識。由此看來，數學思想是數學內涵的核心，它決定了數學的經驗基礎、思考核心和發展目標。

從宏觀角度看，小學數學思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學的（包括邏輯的）思想，如分析法、綜合法、演繹法、歸納法、類比法等;二為科學的思想，如實驗法、圖表法、假設法等;三為數學的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。前者應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想，但在具體的問題中，會涉及數學抽象、數學模型、等量替換、數形結合等數學思想。數學思想的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經過理解、應用、促疑，才能使學生真正領會，并形成自覺運用數學思想的意識，建立起自我的“數學思想系統”。

比如，教學“三角形的三邊關系”，在學生已經初步掌握了“兩邊之和大于第三邊”這一規律后，北京名師孫貴合老師設計了這樣一個問題來驅動學生的思維向思想層面“躍升”：有兩根小棒，一根長7厘米，另一根長9厘米，把其中一根小棒剪成兩段，用拼的方法，你能將它圍成一個三角形嗎？學生帶著這樣的“任務”走了自己的“世界”里，思維成果不斷涌現。

生1：不可以把短的小棒剪成兩根，因為“兩邊之和大于第三邊”是指較短的兩邊之和應該大于第三邊，只能把長的剪成兩段。

生2：我把長9厘米的小棒分成了4和5，3和6，2和7，1和8。

生3：他說錯了，不可以分成1和8。如果這樣分，兩條短邊是1和7，長邊是8，這樣兩邊之和就等于第三邊了。

師：了不起！不僅找出了答案，還洞察到其中的細微之處。相信同學們對今天所學的規律理解得更為透徹了！

師：讓我們把這幾種情況畫下來。

師：除了這幾種情況外，還有其他可能嗎？

生4（遲疑地）：剪開的兩條邊的長度可以是小數嗎？

師：明白他的意思嗎？能不能舉一些例子？

生5：比如，9可以分成4.1和4.9，3.1和5.9。

生6：9可以分成2.1和6.9，9可以分成1.1和7.9。

生7：9可以分成2.12和6.88，9可以分成1.16和7.84。

師：這些都可以拼成三角形嗎？

生（齊）：能！

生8：這些都能滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件。

師：太好了！一共有多少種可能呢？

生（齊）：無數種。

師：讓我們把些可能性也用圖表示出來。想象一下，如果把這些點都描出來，這幅圖像什么？

生9：像鳥巢。

生10：像國家大劇院。

“‘無限這一主題不應被看成與小學數學完全無關的，如何能夠通過有關的內容幫助學生建立起關于無限的一些認識，就是小學數學的重要目標。”（鄭毓信語）在上述教學中，三角形三邊之間的關系在多種可能性中不斷地被強化、被“結構”，由邊的長度（整數、一位小數、兩位小數，甚至更多位小數）可能性的拓展，在學生腦中逐漸形成一個“無數”點的集合，這不就是“極限思想”的有機滲透嗎？

不僅如此，兩條不斷變化著的短邊的長度與固定的長邊之間，形成一個a+b>c（其中a

四、在數學文化中品嘗“數學味”的芳香

華東師范大學教授張奠宙在一篇文章中寫道：“我希望我們大家來了解數學，有三個層面：一個層面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等;第二個層面就是思想，就是我們的公理化思想、數形結合、函數思想等;還有一個層次就是文化價值。”的確，數學是人類實踐活動的產物，社會與文化不僅推動著數學的發展，同時數學也是推動社會與文化發展的關鍵性因素。

從表面來看，任何教學所傳播的總是文化，而且是在形態上可以呈現多種多樣的文化。傳播文化并不意味著教學就是有“文化”內涵的，因為我們所追求的文化，不是那種可見的、物態化的符號，圖像或行為，而是一種語言，一種只對它孜孜叩問的人才會彰顯的無聲語言。

對“善”的向往。數學，如果給它打扮，它就像一位光彩照人的科學女王。但是如果在數學課堂上呈現的僅僅是邏輯，僅僅是枯燥的幾個公式，那么數學這個“美女”就變成X光下的骷髏，就是X光的照片。不容否認，數學有著強大的教化功能，有著較濃的“善”的品質，比如探索過程中的執著與堅韌，論證過程中的務實與嚴謹，創造過程中的開拓與超越，乃至耐心、責任感、敬業品質、民主精神等。數學課堂就要有意地引導學生對“善”產生一種“心向往之”的需要。

對“根”的叩問。意義感的恢復是兒童建構完整人格的前提。意義產生于人與世界相遇的時刻。當我們意識到自己與世界成為一個整體時，我們的生活才具有完滿意義，也就是說，世界是意義生成的背景，意義的產生需要使每一個人與這一背景重新建立聯系。在課程領域，兒童意義感的恢復需要使之重新與某種超越的東西相連，使課程成為人的內在精神之旅。教師對司空見慣的數學內容總是做成人化的解讀，做簡單化的詮釋，做線性化的推進，很少考慮這一教學內容從哪里來，亦即缺少對“根”叩問的一種姿態。比如，量角器上的刻度為什么要平均分成180份？為什么要有內圈刻度和外圈刻度？量角的時候為什么要做到“點點重合”“邊線重合”……這些涉及數學知識的本源問題和元認知等關注“根”的策略，教師理應關注并盡力彰顯其豐富的知識內涵。

對“史”的關注。人類發展已有著幾千年的歷史，滄海桑田的演變，給后代積淀下厚實的數學文化，翻開歷史的長卷，古今中外的文化史實猶如一顆顆亮燦燦的明珠鑲嵌在歷史的長廊上，令人目不暇接。這些寶貴的財富，理應成為我們的教學資源，“雕刻”在學生記憶的深處，成為他們數學素養中不可或缺的一部分。比如，教學“圓周長的計算”時，我運用現代化教育手段呈現劉徽割圓術以及祖沖之的偉大成就，引領學生了解圓周率的探索歷程，豐富數學活動內容的同時拓展了學生探索的空間。學生通過觀察、聯想，發現圓內接正多邊形的邊數越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的周長與直徑的比值越接近圓的周長與直徑的比值，從而感受極限思想——圓內接正12 288邊形、正24 576邊形的邊長非常小，從而受到了震撼。了解圓周率的探索歷程的活動，是一個領悟數學思想方法的過程，是一個體驗科學精神的過程，是一個感受、欣賞數學文化的過程。

（責編金鈴）