排序集抽樣下指數分布的產品可靠度研究

董曉芳， 張良勇

（河北經貿大學 數學與統計學學院，河北 石家莊050061）

0 引言

排序集抽樣（Ranked set sampling，RSS）方法是澳大利亞農業學家McIntyre［1］在估計農場牧草產量時提出的，已被廣泛應用到臨床醫學、系統可靠性、管理工程、生態環境等領域［2～7］。排序集樣本不僅包含了樣本信息，還包含了次序信息，在實際中只要感興趣的樣本不易具體測量，但較容易直觀排序時，RSS方法比簡單隨機抽樣（Simple random sampling，SRS）方法更加有效。例如，Risch和Zhang［2］在《Science》上論證了對配對親屬進行RSS，遺傳相關性試驗效率能得到顯著地提高。

指數分布在可靠性試驗中占有非常重要的地位，它可以很好地用來描述某些電子元器件的壽命［8］。產品可靠度是描述產品可靠性的重要度量指標［9］。若產品壽命T服從指數分布，t0表示規定的時間，則T的可靠度為

其中θ為未知參數。近年來，一些學者研究了RSS下R（t0）的估計問題。El-Neweihi和Sinha［10］首次指出RSS樣本單元T（i）j可看作可靠性工程中表決系統i／m（F）的壽命時間，并利用此關系構造了RSS下R（t0）的無偏估計量。Ghitany［11］進一步證明了文獻［10］的RSS無偏估計量一致優于SRS下相應估計量，但通過舉例指出文獻［10］中最優估計量的方差并不是最小的。Sinha等［12］利用RSS樣本的次序統計量構造了R（t0）的無偏估計量，并分析了其統計性質。

文獻［10～12］均通過比較RSS下估計量與SRS下相應估計量的估計效率，證明了RSS方法的高效率性。但是，這些文獻都是采用RSS經驗分布函數來構造可靠度的估計量。我們知道當總體分布已知時，極大似然估計是尋求點估計的最重要方法，應用很廣［9］。針對指數分布可靠度的估計問題，本文研究基于RSS方法的MLE及其修正估計，分析它們的統計性質，并進行估計效率的理論比較和實際應用比較。

1 RSS下產品可靠度的MLE

本節分析RSS下R（t0）的MLE及其漸近分布。首先簡要介紹RSS方法的抽樣過程及其樣本特點。

1.1 RSS方法

RSS方法的具體抽樣過程為：

第一步，從總體中抽取樣本量為m2的簡單隨機樣本，隨機劃分為m組，每組m個；

第二步，利用直觀感知的信息對每組樣本進行由小到大的排序，這些信息包括專家觀點、主觀經驗判斷以及一些易于獲得的信息，但不包括與所推斷量有關的具體測量；

第三步，從第i個排序小組中抽出次序為i的樣本單元，i＝1，2，…，m。

以上整個過程稱為一次循環，為了增大樣本量，循環重復k次。若令T（i）j表示在第j次循環中從第i組中抽出次序為i的樣本單元，則排序集樣本表示為：

最終只對這n＝mk個樣本單元進行實際測量。排序集樣本的顯著特點有：（i）排序集樣本單元之間相互獨立；（ii）每一行的樣本單元之間獨立同分布；（iii）每一列都包含了各個秩次的信息。

1.2 R（t0）的MLE

令產品壽命T的分布函數和概率密度函數分別為F（t）＝1-e-t／θ和f（t）＝e-t／θ／θ。令T（i）j，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，k為抽自的排序集樣本，則T（i）j的概率密度函數為

顯然，T（i）j的分布與j無關。

由式（2），RSS下θ的似然函數為

（3），RSS下θ的對數似然函數為

下面定理證明了（t0）的存在性和唯一性。

定理1對于任意給定的小組數m、循環次數k和規定時間t0，（t0）存在且唯一。

證明根據式（5），得

令IRSS（θ）表示RSS下θ的Fisher信息。由Chen等［13］可知，指數分布的次序統計量滿足Fisher信息的常規條件，于是IRSS（θ）存在。再根據T（i）j，j＝1，2，…，k的獨立同分布性和式（5），得

式（9）中＝t（i）1／θ表示標準指數分布的RSS樣本單元。

定理2對于給定的小組數m和規定時間t0，當n→∞（k→∞）時，有

證 明漸 近 正 態 性 的 證 明 可 以 通 過dlnL（θ）／dθ的泰勒級數展開式和中心極限定理來實現，采用的方法與SRS方法相似，這里就不再詳述。再根據式（9）和（10）的漸近方差為

定理得證。

根據文獻［13］中定理3.8的推論，我們可以得到下面引理。

引理1若φ＝φ（θ）是θ的一個可導函數，且關于θ具有漸近正態性。則φ（）關于φ（θ）具有漸近正態性，且其漸近方差為（θ）［dφ（θ）／dθ］2。

下面定理證明了（t0）的漸近正態性。

定理3對于給定的小組數m和規定時間t0，當n→∞（k→∞）時，有

再將式（15）及式（12）的第二個等式代入式（16）即可得式（14）。定理得證。

2 RSS下產品可靠度的修正MLE

顯然，式（17）很難求出顯式解。為了解決這一問題，下面我們采用Mehrotra和Nanda［14］的部分期望法對MLE進行修正。

3 相對效率

令Ti，i＝1，2，…，n為抽自T的簡單隨機樣本。由茆詩松等［15］知，SRS下θ的MLE為，其中n。這樣，SRS下R（t0）的MLE為

3.1 漸近相對效率

下面定理證明了0）的漸近正態性，并給出其漸近方差。

定理4對于給定的小組數m和規定時間t0，當n→∞時，有

證明由文獻［15］可知，SRS下θ的Fisher信息ISRS（θ）＝n／θ2，并且當n→∞時，有（-θ）N（0，θ2）。再由文獻［13］知，引理1對于SRS方法依然成立。于是（t0）具有漸近正態性，且（t0）的漸近方差為

定理得證。

上式中最后等式是由式（14）和（23）所得。由式（11）知，ARE（（t0），（t0））僅與小組數m有關。

表1給出了當m＝2，3，4，…，10時ARE（（t0），（t0））的取值。可以看出m，對于任意給定的，ARE（（t0），（t0））＞1，這 說 明（t0）的估計效率一致高于（t0），并且隨著m的增大（t0）的相對優勢越明顯。

表1 （t0）與（t0）的漸近相對效率

表1 （t0）與（t0）的漸近相對效率

m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ARE 1.4041 1.8082 2.2123 2.6165 3.0206 3.4247 3.8288 4.2329 4.6370

3.2 模擬相對效率

為了比較（t0）與（t0）的估計效率，我們進行了計算機模擬，模擬次數為10000次。一個估計量的偏差和均方誤差分別定義為

（t0）與（t0）的模擬相對效率（Simulation relative efficiency，SRE）定義為它們均方誤差比的倒數，即

表2給出了當k＝10、m＝3，5，8、θ＝0.5，1，2和t0＝0.5θ，θ，2θ時（t0）與（t0）的偏差和相對效率。可以看出，對于任意給定的m、θ和t0，｜B（（t0））｜均小于｜B（（t0））｜，并且SRE（（t0）（t0））＞1，這些說明（t0）一致優于（t0）。另外，對于任意給定的θ和t0，SRE（（t0），（t0））隨著m的增加而增大。實際上，我們對于m＝2，3，4，…，10、θ＝0.5，1，1.5，…，3和t0＝0.5θ，0.6θ，0.7θ，…，2θ都進行了模擬，結果均與表2一致。

表2 （t0）與（t0）的模擬偏差和模擬相對效率

表2 （t0）與（t0）的模擬偏差和模擬相對效率

m θ t0 B（R＾MMLE，SRS（t0）） B（R＾MMLE，RSS（t0）） SRE（R＾MMLE，RSS（t0）），R＾MLE，SRS（t0））3 0.5 0.5θ -0.00790 -0.00457 1.85320 θ-0.00676 -0.00334 1.79489 2θ -0.00026 -0.00011 1.73452 1 0.5θ -0.00722 -0.00403 1.73919 θ-0.00654 -0.00278 1.76729 2θ -0.00027 0.00023 1.68713 2 0.5θ -0.00787 -0.00447 1.85541 θ-0.00611 -0.00305 1.77283 2θ 0.00043 -0.00001 1.73716 5 0.5 0.5θ -0.00512 -0.00164 2.68006 θ-0.00442 -0.00167 2.48937 2θ -0.00008 0.00003 2.56475 1 0.5θ -0.00409 -0.00144 2.56489 θ-0.00344 -0.00141 2.46309 2θ -0.00010 0.00003 2.47106 2 0.5θ -0.00425 -0.00227 2.62846 θ-0.00371 -0.00161 2.48012 2θ 0.00007 -0.00005 2.44036 8 0.5 0.5θ -0.00281 -0.00079 3.74360 θ-0.00189 -0.00055 3.71482 2θ -0.00039 0.00033 3.47553 1 0.5θ -0.00341 -0.00091 3.77391 θ-0.00253 -0.00092 3.73931 2θ -0.00009 0.00000 3.63831 2 0.5θ -0.00351 -0.00043 3.84700 θ-0.00189 -0.00080 3.77170 2θ -0.00002 0.00000 3.55154

4 應用

本節將排序集抽樣方法應用到臨床醫學研究中，我們采用Royston等［16］給出的醫學研究委員會RE01轉移性腎癌試驗數據。RE01試驗給出了323名腎癌病人的緩解時間（月），并已證實緩解時間服從參數θ＝22的指數分布。為了比較（t0）與（t0），我們把所有病人的緩解時間作為總體。由于總體單元數不多，我們取排序小組數m＝3，4，5，循環次數k＝5，RSS方法和SRS方法都采用放回式抽樣，抽樣次數為20次。表3和表4分別給出了樣本量n＝15（m＝3）的一次排序集樣本值和一次簡單隨機樣本值。

表3 排序集抽樣下轉移性腎癌病人的緩解時間（月）

表4 簡單隨機抽樣下轉移性腎癌病人的緩解時間（月）

表5給出了當m＝3，4，5（n＝15，20，25）和t0＝11，22，44時（t0）與（t0）的偏差和均方誤差。可以看出對于給定的m和t0，｜B（（t0））｜小于｜B（（t0））｜，且MSE（（t0））小于MSE（（t0））。另外對于給 定 的t0，MSE（（t0））／MSE（（t0））隨著m（n）的增加而增大，即RSS相對于SRS的優勢越明顯。應用結果進一步驗證了（t0）優于（t0）。

表5 轉移性腎癌數據中S（t0）與（t0）的偏差和均方誤差

表5 轉移性腎癌數據中S（t0）與（t0）的偏差和均方誤差

m n t0 B（R＾MLE，SRS（t0）） B（R＾MMLE，RSS（t0）） MSE（R＾MLE，SRS（t0）） MSE（R＾MMLE，RSS（t0））3 15 11 -0.02030 -0.01498 0.00723 0.00540 22 -0.01631 -0.01203 0.00871 0.00608 44 0.00185 -0.00084 0.00448 0.00202 4 20 11 -0.01264 -0.01105 0.00510 0.00222 22 -0.00768 0.00734 0.00664 0.00399 44 0.00145 -0.00049 0.00333 0.00109 5 25 11 -0.01645 -0.00959 0.00398 0.00169 22 -0.00775 -0.00280 0.00531 0.00227 44 0.00092 -0.00071 0.00273 0.00089

5 結論

針對指數分布產品可靠度的估計問題，本文研究了RSS下可靠度的MLE及其漸近分布，并給出帶有具體表達式的修正MLE。漸近相對效率和模擬相對效率的研究結果均表明：RSS下MLE和修正MLE的估計效率都一致高于SRS下MLE。臨床醫學的實際應用結果進一步驗證了理論研究結果的正確性。另外，在實際應用RSS方法時，為了減少排序誤差，我們可以參考文獻［17］進行排序。