分析高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型及解題技巧

李靜

摘 要：文章以分析高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型及解題技巧為主要內(nèi)容，以當(dāng)下高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準需求為主要依據(jù)，從和線性規(guī)劃結(jié)合問題、高次不等式的解答方法、不等式等價轉(zhuǎn)化問題、含參不等式問題、絕對值不等式問題、不等式恒成立問題這幾方面進行深入探討和分析，其目的在于更好地解答高中數(shù)學(xué)不等式易錯題，使得學(xué)生掌握一定技巧，旨在為相關(guān)研究提供參考資料。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)知識;不等式問題;易錯題;解題技巧

中圖分類號：G633.6?文獻標(biāo)識碼：A?文章編號：2095-624X（2020）27-0081-02

一、逐漸引入不等式概念

不等式概念中，包含了數(shù)學(xué)思考，但多數(shù)教師只是根據(jù)教學(xué)參考書以及大綱來安排教學(xué)，直接進入不等式的內(nèi)容講解。筆者認為在引入不等式概念時一定要逐漸引進。在接觸不等式知識前，學(xué)生習(xí)慣用等號來連接式子兩端，突然要用“>”“<”符號連接式子，學(xué)生一下難以適應(yīng)。這時可讓學(xué)生體會世上的萬物都有正、反兩面，對于數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)中有等式，也有不等式，在學(xué)習(xí)時難免會有較為“別扭”的感覺，認為不等式就是數(shù)學(xué)內(nèi)容中的不和諧因素。實際上不等式也是數(shù)學(xué)的一種表達式，其以相似確定形式描述了一種無窮及不確定的數(shù)學(xué)狀態(tài)。故教師在對這部分內(nèi)容講解時，引入概念時要平緩，這樣才能自然銜接，糾正學(xué)生對不等式的看法。

二、解題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

為了更好地幫助學(xué)生掌握不等式的有關(guān)解題方法，很多教師都絞盡腦汁，總結(jié)了很多技巧。例如，“解不等式的方法是利用函數(shù)性質(zhì)，將無理不等式化成有理不等式。高向低次代，轉(zhuǎn)化步步等價……”對于這類技巧，學(xué)生如果可以掌握自然是好，但如果無法掌握也不能讓學(xué)生死記，因此硬背的方式是不可取的。只有真正掌握了不等式推導(dǎo)的起始過程，學(xué)生才能牢記于心里。

很多教師在講解不等式內(nèi)容時，容易把這一節(jié)的內(nèi)容孤立起來。事實上，不等式就是一個簡單函數(shù)，需要學(xué)生快速聯(lián)想起函數(shù)的定義域、值域等因素，特別要培養(yǎng)學(xué)生在遇到根號下整式、分式下分母、底數(shù)函數(shù)等不等式時，其腦中馬上就要想到先求出這些數(shù)學(xué)因子的定義域，在此范圍內(nèi)再去尋求不等式的解。教師充分考慮各因素并形成科學(xué)數(shù)學(xué)思維，讓高中生掌握數(shù)學(xué)歸納法以及分類討論法等基本方法不等式就是這樣，在未考慮分母、底數(shù)函數(shù)是否有意義的條件下盲目尋求不等式的解，無法做到等價置換，且容易出錯。所以對于易錯題的講解，還是十分必要的。

三、易錯題型及解題技巧

1.和線性規(guī)劃結(jié)合問題

此類數(shù)學(xué)問題在高考數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)比例是比較大的，并且涉及的數(shù)學(xué)知識點也比較多，主要是值域、定義域以及面積計算等，在解答此類數(shù)學(xué)問題時，一定要尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，一旦不等式和線性規(guī)劃數(shù)學(xué)性質(zhì)理解不夠具體和詳細，那么解題過程將會出現(xiàn)錯誤。

比如，在學(xué)習(xí)人教版不等式知識內(nèi)容時，有這樣一

道例題：下有不等式組所表示的平面區(qū)域面積

都是等于一的三角形，那么實數(shù)k的數(shù)值則為（? ?）。

A.-1B.—C.—D.1

此道數(shù)學(xué)題所要解決的難點問題，就是三條直線在x、y軸上圍成的圖形——三角形圖形面積的計算，這里也是學(xué)生最容易出現(xiàn)問題的地方，解決問題的主要方法就是將三條直線圍成的示意圖圖形面積標(biāo)出來（如圖1所示），然后將A、B、C、D四個答案代入方程式中計算，就可以得到正確答案，通過計算后發(fā)現(xiàn)選項B是正確的[1]。

解決此類問題的技巧可以分為兩個形式，第一是將問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)最值求解問題，解決問題的關(guān)鍵在于在紙張上繪畫出可行域，進而可以更加正確地理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義和價值，此思路是正確解決問題的一種方式[2]。

第二則是將目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)進行設(shè)立設(shè)置，主要目的在于提升探索問題的動態(tài)性以及問題的開放性，解決問題的關(guān)鍵在于從目標(biāo)函數(shù)結(jié)論上入手，針對圖形動態(tài)關(guān)系進行分析，對于整個函數(shù)變化過程以及出現(xiàn)的各種相關(guān)量進行準確定位，進而可以從此類問題中尋找到解決問題的主要思維方法。

2.高次不等式的解答方法

高次不等式易錯點主要是學(xué)生經(jīng)常會遺忘數(shù)學(xué)知識的特殊點，一些特殊區(qū)域難免會被學(xué)生遺忘，進而無法判斷函數(shù)升降問題。人教版高中數(shù)學(xué)不等式章節(jié)知識中有一道例題是：求解（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。此題解答方法和思路是可以在數(shù)軸上將方程的三個零點標(biāo)記出來，分別是-3、2、4，三個零點將整個數(shù)軸分為4個區(qū)間，如圖2所示。

最右邊的第一個區(qū)間是正數(shù)，后邊則正負相間，在區(qū)間將正負號標(biāo)記清楚，不等式小于等于0則是符號區(qū)間，進而可以得到正確答案。因此此不等式的解集則是{x|2≤x≤4或者x≤-3}。解答此類數(shù)學(xué)題型的主要技巧在于要善于使用函數(shù)圖像對區(qū)間進行劃分，在具體解決問題過程中一定要注意尋找一些特殊點，通過特殊點解決數(shù)學(xué)問題，加深對知識的理解，從而不斷提升學(xué)生解決不等式問題的效率。

3.不等式等價轉(zhuǎn)化問題

在學(xué)習(xí)人教版知識時，一道例題是：不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，那么請求出p的值。學(xué)生在解決此類不等式題時容易出現(xiàn)錯誤的原因是學(xué)生并未進行等價轉(zhuǎn)化，無法理解x的最大值是3的真正內(nèi)涵。

解決問題的主要步驟：因為x的最大值是3，所以x-3<0，原不等式則可以替換為等價的|x2-4x+p|-（x-3）≤5。通過化簡可以轉(zhuǎn)化為-x-2≤x2-4x+p≤x+2，最后可以得到{ ? ，假設(shè)①和②的根依次是x1、x2（x2>x1）、x2x3（x4x3），則x2=3或者x4=3，

假如x2=3，那么9-15+p-2=0，所以解得p的數(shù)值為8;

假如x4=3，那么9-9+p+2=0，所以解得p的數(shù)值為-2;

當(dāng)p=-2，原不等式組無解，那么p的數(shù)值則為8。

學(xué)生在解決此類問題時，到了后面則會忘記前面的數(shù)學(xué)知識，要想真正解決此類問題，就要多做題，多練習(xí)，才能夠更好地克服和解決學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識帶來的負遷移效果。學(xué)生不會等價轉(zhuǎn)化方法，就要進行針對性訓(xùn)練，直到學(xué)生掌握知識內(nèi)容為止。不等式是高考數(shù)學(xué)必考知識點，不等式知識掌握程度直接影響了學(xué)生數(shù)學(xué)成績，所以在平時做題過程中一定要準備好一本錯題集，將容易做錯和經(jīng)常出錯的數(shù)學(xué)題目抄寫下來，在題目旁邊一定要書寫出現(xiàn)錯誤的原因，經(jīng)常將錯題本拿出來閱讀和思考，堅決不能在同一個地方跌倒兩次。

4.含參不等式問題

通常解決含參數(shù)不等式問題時，需要用到分類討論方法，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸惙绞健Ｒ胝嬲鉀Q數(shù)學(xué)問題，就要分析參數(shù)是否為零以及不能重復(fù)和遺漏等。比如，人教版例題中關(guān)于x的不等式是ax2-2x+1>0，（a是常數(shù)，并且a∈R）。遇到此類數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就要立即想到采用分類情況進行討論，分別是a=0、a>0和a<0三種情況，并且在a>0時還要注重有效區(qū)別▲的數(shù)值。解決此種類型的數(shù)學(xué)題目一定要記得使用的解題技巧就是參數(shù)一定要以分類形式進行討論，確保整個過程不重復(fù)，也不遺漏。基本不等式解決方法就是湊項，拆項，配系數(shù)，換元和取倒數(shù)的代換。

5.絕對值不等式問題

解決絕對值不等式問題可以通過變形將絕對值符號去除，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次以及一元二次不等式組，求解起來更加簡單，含有多個絕對值符號的不等式解決方法，一般可以采用零點分段方法進行求解，也可以用解決實數(shù)絕對值的方法表示的幾何意義進行求解，還要考慮不等式的最值問題。解決問題的主要思路就是通過各種方式將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的一個簡單式子進行計算。

6.不等式恒成立問題

不等式恒成立問題一般會和高中數(shù)學(xué)知識中數(shù)列以及抽象函數(shù)結(jié)合起來，此類數(shù)學(xué)問題屬于高中數(shù)學(xué)不等式問題的難點問題，對于學(xué)生來說都是比較抽象的，容易出現(xiàn)錯誤，比如，人教版不等式例題函數(shù)f（x）-Ln（1+x）， g（x）=xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)。

（1）假設(shè)g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求出gn（x）的表達式。

（2）假設(shè)f（x）≥ag（x）恒成立，那么請求出a的取值范圍。

（3）假設(shè)n∈N+，對比g（1）+g（2）+...+g（n）和n- f（n）的大小，并通過簡單解題步驟進行證明。

此道數(shù)學(xué)例題考查的是不等式和函數(shù)導(dǎo)數(shù)閉區(qū)間的最值問題，依照函數(shù)單調(diào)性問題，解決此類數(shù)學(xué)問題一般要使用分離變量以及變形方案，或者使用變換主元以及構(gòu)造函數(shù)的方法進行解決，還可以使用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式形式求解，最值問題可以通過一種方式轉(zhuǎn)化為基本不等式進行求解，并且在轉(zhuǎn)化不等式過程中還要格外注意不等式等號方向，解決問題期間要注意一正二定三相等。

綜上所述，在解決高中數(shù)學(xué)問題時一定要高度重視數(shù)學(xué)實踐內(nèi)容，對不等式知識內(nèi)容容易出錯題型進行整理和記錄，做好不等式證明、轉(zhuǎn)化和最值求解工作，掌握具體解題技巧，從而可以更好地解決數(shù)學(xué)問題，以便于在高考中獲得更好的成績。

[參考文獻]

[1]吳建芬.高中數(shù)學(xué)不等式易錯題分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（13）.

[2]王 楠.高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型及解題技巧[J].好家長，2017（40）.

課題項目：高中數(shù)學(xué)“先學(xué)后教”與“先教后學(xué)”教學(xué)模式的比較研究（20164617）。

作者簡介：李 靜（1990— ），女，吉林長春人，中學(xué)一級教師，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。