“基于MATLAB的高壓直流輸電系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析仿真”教學(xué)研究

汪娟娟，葉運(yùn)銘，黃星海

（華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 廣東 510641）

在傳統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析課程教學(xué)中，學(xué)生普遍反映課程涉及原理多樣抽象，所用公式零散復(fù)雜，理解起來(lái)十分困難，對(duì)學(xué)生的考查也僅停留在針對(duì)一個(gè)二階或三階的簡(jiǎn)單系統(tǒng)進(jìn)行線(xiàn)性化計(jì)算上，使學(xué)生在面對(duì)高階系統(tǒng)時(shí)往往束手無(wú)策。隨著編程語(yǔ)言和仿真工具的不斷發(fā)展，運(yùn)用電磁暫態(tài)仿真軟件（如PSCAD/EMTDC）可方便地構(gòu)建與實(shí)際模型具有相同代數(shù)關(guān)系和電磁關(guān)系的電磁模型，有助于學(xué)生加深對(duì)小擾動(dòng)分析法的理解，但僅僅通過(guò)電磁仿真仍然無(wú)法使學(xué)生透徹理解小擾動(dòng)分析法的本質(zhì)。

“基于MATLAB的高壓直流輸電系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析仿真”課程，主要講述如何在 MATLAB中對(duì)高壓直流輸電系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析，是電氣工程及其自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)的重要課程之一。該課程不僅需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)、電路、自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)等學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)，還由于其較強(qiáng)的理論性與工程實(shí)踐性特點(diǎn)，從而是一門(mén)集綜合性、復(fù)雜性和應(yīng)用性于一體的專(zhuān)業(yè)實(shí)踐課。與傳統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析課程相比，該課程能夠讓學(xué)生在 MATLAB仿真中，直觀(guān)感受系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以高壓直流整流側(cè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，詳細(xì)介紹在 MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析的過(guò)程，以期在電磁仿真的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生深刻理解小擾動(dòng)分析法。首先，在 MATLAB軟件中建立高壓直流整流側(cè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)該模型進(jìn)行線(xiàn)性化，得到小干擾動(dòng)態(tài)模型；然后在電磁暫態(tài)仿真軟件（PSCAD/EMTDC）中搭建高壓直流整流側(cè)系統(tǒng)電磁模型，對(duì)小干擾動(dòng)態(tài)模型的正確性進(jìn)行仿真驗(yàn)證；最后應(yīng)用小干擾動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析的仿真演示。

1 MATLAB功能簡(jiǎn)介

MATLAB是美國(guó) MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，提供用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境。它的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，且其指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，所以用 MATLAB解算問(wèn)題要比用C、FORTRAN等語(yǔ)言更加簡(jiǎn)捷[1]。

在高壓直流輸電系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析仿真教學(xué)中，主要利用 MATLAB進(jìn)行矩陣運(yùn)算、實(shí)現(xiàn)算法和繪制函數(shù)及數(shù)據(jù)等功能。MATLAB具有強(qiáng)大的算法實(shí)現(xiàn)功能，包括非線(xiàn)性方程組和微分方程組在內(nèi)的復(fù)雜算法均可在其中高精度地實(shí)現(xiàn)。高壓直流輸電系統(tǒng)是一個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)，使用 MATLAB易于搭建和調(diào)試與本課程內(nèi)容相關(guān)的模型。

2 MATLAB實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)用實(shí)例

2.1 小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析

目前的小擾動(dòng)分析法主要是基于李雅普諾夫線(xiàn)性化方法[2]。高壓直流輸電系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)無(wú)時(shí)無(wú)刻不受到一些小擾動(dòng)的影響，如電源的輕微起伏和控制器指令值的微小變化等。這些小的擾動(dòng)通常不會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由于其強(qiáng)度足夠小，以致系統(tǒng)受到小擾動(dòng)前后的運(yùn)行狀態(tài)十分接近，此時(shí)系統(tǒng)的行為可通過(guò)其線(xiàn)性化模型進(jìn)行分析[3]。

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，本文在 CIGRE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試模型基礎(chǔ)上，將兩端 LCC-HVDC系統(tǒng)的逆變側(cè)等效為一個(gè)理想的直流電壓源，僅探討整流側(cè)高壓直流輸電系統(tǒng)，該系統(tǒng)的換流閥為12脈波。圖1為所研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其單線(xiàn)原理圖，其中交流濾波器參數(shù)與文獻(xiàn)[4]附錄中的整流側(cè)交流濾波器參數(shù)一致。

圖1 LCC-HVDC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖1 (b)中：us為交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓；RS和LS分別代表交流系統(tǒng)的等值電阻和等值電感；iS為交流系統(tǒng)輸出的電流；vPCC為公共連接點(diǎn)（point of common coupling，PCC）電壓，R1—R3，L1、L2和 C1—C4分別代表交流濾波器組內(nèi)相關(guān)支路的電阻、電感和電容；iC為換流變壓器網(wǎng)側(cè)電流；k為換流變壓器變比；Rdc1(Rdc2)和Ldc1(Ldc2)分別代表直流線(xiàn)路整流（逆變）側(cè)等值電阻和電感；Lec為換流變壓器對(duì)直流側(cè)的等效影響電感；Cdc為直流輸電線(xiàn)路等值對(duì)地電容；Idcr為整流側(cè)直流電流；Idci為理想直流電壓源側(cè)直流電流；UCdc為直流輸電線(xiàn)路中點(diǎn)對(duì)地電壓；Udci為逆變側(cè)等效理想直流電壓源電壓；α0為交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓的初相位。

下面以上述系統(tǒng)為例，從建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型開(kāi)始，逐步敘述如何在MATLAB中建立小干擾動(dòng)態(tài)模型，并利用該模型對(duì)系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析進(jìn)行仿真演示。

2.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

2.2.1 換流器的建模

基于調(diào)制理論的換流器開(kāi)關(guān)函數(shù)模型具有物理概念清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單、能夠揭示諧波產(chǎn)生機(jī)理等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于建立換流器模型[5]。經(jīng)過(guò)基頻開(kāi)關(guān)函數(shù)的調(diào)制，12脈波換流器交、直流側(cè)電流間的關(guān)系可表示為：

式中，iC(abc)為流經(jīng)換流變壓器網(wǎng)側(cè)的等效三相電流；Si(abc)表示直流電流與等效交流三相電流之間的開(kāi)關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式如下[6]：

式中，Ai表示換流器換相過(guò)程的電流修正系數(shù)[7]；φ為換流器功率因數(shù)角；ω為系統(tǒng)角頻率。Ai和φ的表達(dá)式為：

式中，μ為換相重疊角；α為觸發(fā)延遲角。

經(jīng)過(guò)恒功率Park變換后，換流變壓器網(wǎng)側(cè)等效電流iC的d、q軸電流分量為：

2.2.2 定電流控制器的建模

圖 2為整流器定電流控制器的原理圖[8]，由圖可得其狀態(tài)空間方程如式（5）[9]。

圖2 定電流控制器原理框圖

式中，x1為中間狀態(tài)變量，并無(wú)實(shí)際物理意義；G=0.5為一階慣性環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)；Tidc=0.005 s為一階慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；KpIdc和KiIdc分別為定電流控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)；Idcref為直流電流指令值。

2.2.3 鎖相環(huán)的建模

鎖相環(huán)的控制原理可等效為圖 3，其相應(yīng)的狀態(tài)空間方程如式（6）。

圖3 鎖相環(huán)原理框圖

圖3及式（6）中，x2為中間狀態(tài)變量，并無(wú)實(shí)際物理意義；vPCCq為公共連接點(diǎn)電壓的 q軸分量；vP*CCq為vPCCq的標(biāo)幺值，q軸電壓輸入到PI環(huán)節(jié)前進(jìn)行標(biāo)幺化的目的是為了消除電壓幅值波動(dòng)對(duì)鎖相環(huán)造成的影響[10]；KpPLL和KiPLL分別為鎖相環(huán)PI環(huán)節(jié)的比例系數(shù)和積分系數(shù)；ω為系統(tǒng)角頻率；0ω為額定系統(tǒng)角頻率；θ為鎖相環(huán)的輸出相位，其初相位為xPLL[11]；

2.2.4 交流濾波器及交流系統(tǒng)的建模

由公共連接點(diǎn)的 KCL方程和連接該點(diǎn)各支路的KVL方程，經(jīng)過(guò)恒功率 Park變換后，可得交流濾波器及交流系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

式中，vSd和vSq分別代表交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓的d、q軸分量，其相應(yīng)表達(dá)式為：

2.2.5 直流輸電線(xiàn)路的建模

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，換流變壓器對(duì)直流側(cè)的影響可由一等效電感表示，其表達(dá)式為：

式中，B為6脈動(dòng)換流單元的個(gè)數(shù)；TL為換流變壓器的漏感。

根據(jù)KCL和KVL方程，直流輸電線(xiàn)路的狀態(tài)空間方程為：

2.3 系統(tǒng)的小干擾動(dòng)態(tài)模型

2.3.1 系統(tǒng)小干擾動(dòng)態(tài)模型的建立

式（1）—（10）囊括了21個(gè)非線(xiàn)性微分方程，將這21個(gè)方程在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線(xiàn)性化處理，可得系統(tǒng)的小干擾動(dòng)態(tài)模型為[13]：

式中，狀態(tài)變量為X=[vPCCd, vPCCq, vC2d, vC2q, vC3d, vC3q,vC4d, vC4q, iL1d, iL1q, iL2d, iL2q, iSd, iSq, x1, Idcrm, x2, xPLL, Idcr,UCdc, Idci]T；輸入變量為 U=Idcref；矩陣A為21×21的系數(shù)矩陣；矩陣B為21×1的系數(shù)矩陣。

鑒于本文所使用的系統(tǒng)為21階系統(tǒng)，手動(dòng)進(jìn)行線(xiàn)性化計(jì)算的工作量較大。當(dāng)研究的系統(tǒng)階數(shù)更高時(shí)，采用手動(dòng)方式進(jìn)行線(xiàn)性化計(jì)算更加不切實(shí)際。而采用MATLAB軟件作為輔助計(jì)算工具，并通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性化計(jì)算過(guò)程，不僅可以大大減少計(jì)算工作量，而且可以為后續(xù)分析工作提供諸多便利。

2.3.2 系統(tǒng)小干擾動(dòng)態(tài)模型的驗(yàn)證

本文通過(guò)對(duì)比 MATLAB中小干擾動(dòng)態(tài)模型的計(jì)算結(jié)果和 PSCAD中電磁暫態(tài)模型的仿真結(jié)果，來(lái)驗(yàn)證小干擾動(dòng)態(tài)模型的正確性。事實(shí)上，小干擾動(dòng)態(tài)模型的驗(yàn)證工作是融合在建模過(guò)程中的。圖 4為在MATLAB中建立小干擾動(dòng)態(tài)模型的程序框圖。

圖4 建立小干擾動(dòng)態(tài)模型的程序框圖

現(xiàn)對(duì)圖4中各主要步驟及其涉及到的編程函數(shù)作進(jìn)一步說(shuō)明。首先建立一個(gè)“腳本”文件用以列寫(xiě)系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)、準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)計(jì)算公式及狀態(tài)空間方程，然后給定恰當(dāng)?shù)某跏贾?，并使用ode45函數(shù)求解狀態(tài)空間方程組的數(shù)值解；接著調(diào)用 diff（函數(shù)，變量名）完成偏微分計(jì)算步驟，生成矩陣A與矩陣B，即小干擾動(dòng)態(tài)模型；再調(diào)用stepfun函數(shù)，令系統(tǒng)輸入?yún)?shù)發(fā)生階躍，以觀(guān)察小干擾模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；最后將PSCAD中的波形數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB，并將小干擾動(dòng)態(tài)模型的階躍響應(yīng)波形與 PSCAD電磁暫態(tài)模型的階躍響應(yīng)波形進(jìn)行對(duì)比，從而確定小干擾動(dòng)態(tài)模型的建立是否準(zhǔn)確。

下面簡(jiǎn)要敘述驗(yàn)證小干擾動(dòng)態(tài)模型正確性的具體做法。系統(tǒng)初始時(shí)運(yùn)行在表1所示的參數(shù)下，t=3 s時(shí)令直流電流指令值Idcref由1.0 pu下降階躍至0.95 pu，1 s后恢復(fù)至初始運(yùn)行狀態(tài)。

表1 系統(tǒng)初始運(yùn)行參數(shù)

圖5從公共連接點(diǎn)電壓vPCC和鎖相環(huán)輸出頻率f兩個(gè)方面對(duì)比了MATLAB小干擾動(dòng)態(tài)模型和PSCAD電磁暫態(tài)模型的仿真結(jié)果。

圖5 直流電流指令值發(fā)生階躍時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖5可知，在直流電流指令值Idcref發(fā)生相同階躍的情況下，MATLAB小干擾動(dòng)態(tài)模型和PSACD電磁暫態(tài)模型的仿真結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了本文所建立的小干擾動(dòng)態(tài)模型的正確性。

2.4 小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析仿真演示

從系統(tǒng)的狀態(tài)方程來(lái)看，系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于其線(xiàn)性化系數(shù)矩陣A的特征根。由李雅普諾夫第一法可知，系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件，是矩陣A的所有特征根lA均具有負(fù)實(shí)部。當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)改變時(shí)，可通過(guò)在 MATLAB中繪制根軌跡的方法，來(lái)直觀(guān)反映該參數(shù)對(duì)系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

現(xiàn)以定電流控制器比例系數(shù)KpIdc為例，保持系統(tǒng)其余參數(shù)同表1，僅令KpIdc由1逐漸變化至5，變化步長(zhǎng)取為0.05。在此過(guò)程中，KpIdc的數(shù)值每發(fā)生一次變化，線(xiàn)性化系數(shù)矩陣A都隨之發(fā)生一次改變，相應(yīng)地矩陣A的特征根也發(fā)生改變。若將此變化過(guò)程中矩陣A所有的特征根繪制在一張圖中，即可得到系統(tǒng)特征根在KpIdc由1變化至5時(shí)的軌跡，如圖6所示。

圖6 KpIdc變化時(shí)矩陣A的根軌跡

由圖6可知，當(dāng)KpIdc由1逐漸增大時(shí)，主導(dǎo)模態(tài)（Mode6）對(duì)應(yīng)的特征根逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性逐漸減弱。而當(dāng)KpIdc＞4.51時(shí)，矩陣A的特征根出現(xiàn)非負(fù)實(shí)部的情況，根據(jù)李雅普諾夫第一法，系統(tǒng)失去小擾動(dòng)穩(wěn)定性。為進(jìn)一步驗(yàn)證小干擾動(dòng)態(tài)模型的正確性，保證分析結(jié)果的可信度，在 PSCAD電磁暫態(tài)模型中令KpIdc在t=3 s時(shí)由1躍變至6，得到系統(tǒng)的整流側(cè)直流電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性如圖7所示。

從圖 7的波形數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng) KpIdc=6時(shí)，PSCAD電磁暫態(tài)仿真模型已失去穩(wěn)定，波形呈振蕩發(fā)散狀態(tài)，其振蕩周期為T(mén)PSCAD=13.4 ms。而MATLAB小干擾動(dòng)態(tài)模型在 KpIdc=6時(shí)主導(dǎo)模態(tài)特征根為26.992±i495.254，對(duì)應(yīng)的振蕩周期為 TMATLAB=12.7 ms?？紤]到 PSCAD電磁暫態(tài)仿真模型系統(tǒng)的阻尼比本文建立的小干擾動(dòng)態(tài)模型系統(tǒng)阻尼大，可以認(rèn)為二者結(jié)果接近一致，從而證明了上述小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析方法的正確性。

圖7 KpIdc階躍時(shí)直流電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

以上仿真方法有利于學(xué)生以此為參考，分析其他參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用 MATLAB軟件搭建了高壓直流輸電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，建立了相應(yīng)的小干擾動(dòng)態(tài)模型，并應(yīng)用該模型對(duì)高壓直流整流側(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析。將本文介紹的小擾動(dòng)分析方法應(yīng)用在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，可對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有以下指導(dǎo)作用：

（1）通過(guò)將小干擾動(dòng)態(tài)模型和電磁暫態(tài)分析相結(jié)合進(jìn)行系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式難以對(duì)高壓直流輸電系統(tǒng)直觀(guān)展現(xiàn)數(shù)學(xué)分析方法的缺陷。通過(guò)在 MATLAB中建立小干擾動(dòng)態(tài)模型來(lái)進(jìn)行小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析，可直觀(guān)地展現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)改變對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)提高課程教學(xué)質(zhì)量和加深學(xué)生理解程度大有裨益。

（2）利用仿真軟件易于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜算法和繪制數(shù)據(jù)圖形的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生快速理解并掌握課程知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率。

（3）通過(guò)搭建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、小干擾動(dòng)態(tài)模型和電磁暫態(tài)模型，學(xué)生能夠了解并熟悉當(dāng)前編程、建模及仿真領(lǐng)域的主流軟件，不僅有助于他們提高深入探索理論知識(shí)的能力，而且能拓寬應(yīng)用實(shí)踐技術(shù)的視野，從而培養(yǎng)創(chuàng)新實(shí)踐能力。

（4）MATLB仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法可對(duì)傳統(tǒng)電磁實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式進(jìn)行補(bǔ)充。其仿真結(jié)果可幫助學(xué)生更好地理解高壓直流輸電系統(tǒng)中各電氣量的關(guān)系，有效避免所授知識(shí)的寬泛化和概念化。