軸承誤差與彈性變形對斜齒輪傳動精度的影響分析

董惠敏，步 鵬

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

斜齒輪傳動因其具有傳動效率高、結(jié)構(gòu)緊湊等特點，被廣泛應(yīng)用在各種傳動場合。一個完整的齒輪傳動系統(tǒng)由齒輪、軸、軸承等零部件組成，這些零部件在應(yīng)用中不可避免地會存在制造誤差和彈性變形，通過在動靜聯(lián)結(jié)面之間的相互傳遞，最終反映在齒輪軸的六自由度誤差運(yùn)動上，導(dǎo)致齒輪軸出現(xiàn)浮動效應(yīng)，因而這些制造誤差和彈性變形對傳動誤差的影響是不可忽視的[1]。現(xiàn)有對齒輪傳動精度的研究，多分析齒輪本身參數(shù)[2]或者齒輪誤差因素對傳動精度的影響，如齒輪安裝誤差[3- 4]、齒輪制造誤差[5-6]、齒輪彈性變形[7]等，有些學(xué)者[8- 9]考慮了軸承的彈性變形，但未考慮軸承滾道誤差對傳動精度的影響，因而難以較真實地等效出斜齒輪傳動系統(tǒng)的真實運(yùn)動狀態(tài)。對于誤差條件下的齒輪彈性變形的計算，大多采用有限元法[10]或者有限元法與解析法相結(jié)合的方法[11]，存在計算效率低且建模過程復(fù)雜的不足。

本文建立了可綜合考慮軸承誤差和彈性變形的斜齒輪傳動的精度分析模型，從而將斜齒輪在軸系運(yùn)動誤差下的復(fù)雜空間接觸問題轉(zhuǎn)化為一系列截面內(nèi)的直齒輪平面接觸問題。

1 斜齒輪傳動系統(tǒng)精度分析模型

1.1 模型描述

以圖1所示的斜齒輪傳動系統(tǒng)為例，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，建立如圖2所示的斜齒輪傳動系統(tǒng)等效模型。模型將軸承滾道徑向和軸向的圓度誤差分別等效映射到一個剛性的盤狀凸輪的輪廓面和端面上，凸輪與齒輪軸的連接點為凸輪的幾何中心，一根軸上兩凸輪的距離為實際軸承支撐幾何中心的距離，即軸承支撐段中心截面的距離。對于軸承的剛度，用凸輪從動件上的復(fù)位彈簧來等效，從動件末端的位移量表示彈簧的形變量，根據(jù)角接觸球軸承的約束形式，每個凸輪配有5個彈簧來約束其相應(yīng)方向上的自由度，彈簧只受壓不受拉。為了分析誤差條件下齒面間隙分布和齒輪的彈性變形情況，將斜齒輪沿齒寬方向離散為一系列等厚度的薄片，當(dāng)薄片的厚度很小時，斜齒輪可近似看作是由一系列相差了一個相位角的薄直齒輪組成[12]。

圖1 斜齒輪傳動系統(tǒng)簡圖

圖2 斜齒輪傳動系統(tǒng)等效模型

1.2 模型參數(shù)定義

含制造誤差的軸承滾道形狀是理想圓和圓度誤差的疊加，可以用凸輪輪廓R(θ)來等效表達(dá)，在凸輪坐標(biāo)系中用傅里葉級數(shù)擬合表示：

(1)

式中:D為軸承內(nèi)圈滾道的理論直徑；EN為軸承圓度誤差的第N階諧波分量系數(shù)；N為誤差階次；θ為誤差位置角；ψN為誤差初始相位。

凸輪從動件彈簧的剛度是軸承在各方向上的結(jié)構(gòu)剛度kVKij，本文采用有限元法計算得到的軸承徑向和軸向剛度擬合曲線如圖3所示。

每一個直齒輪薄片的嚙合剛度k由輪齒的彎曲剛度kb、剪切剛度ks、基體剛度kf、徑向壓縮剛度ka以及接觸剛度kh組成，薄片齒對的單齒嚙合剛度可通過勢能法[13]計算：

圖3 軸承剛度與載荷關(guān)系的擬合曲線

(2)

式中：下標(biāo)1,2分別表示主動輪和從動輪；下標(biāo)n為薄片齒對的編號。

2 模型基本方程

2.1 齒輪薄片位置

(3)

(4)

如圖4所示，對于每個凸輪從動件，根據(jù)凸輪與從動件的位置關(guān)系和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，由幾何關(guān)系可得每一個從動件對應(yīng)的位移矢量閉環(huán)方程：

圖4 從動件位移矢量示意圖

(5)

(6)

(7)

通過聯(lián)立方程(3)～(7)，可以求解出模型中齒輪在任一轉(zhuǎn)角位置時凸輪與從動件的位移參數(shù)。式(5)中的rfCij表征各凸輪幾何中心在全局固定坐標(biāo)系下的位移情況，由此可確定軸i上與凸輪1距離為l的任意點在全局固定坐標(biāo)系下的位置rfi為：

(8)

式中：L為軸承的跨距。

2.2 齒面間隙

如圖5所示，軸承的誤差和彈性變形會導(dǎo)致齒輪軸線的偏斜，導(dǎo)致原本應(yīng)該相互嚙合的齒面彼此分離或嵌入，且每一個薄片齒對的間隙都不一樣。為了分析間隙在薄片齒對間的分布情況，以每一個薄片齒對的中間截面為分析對象。由于軸線偏斜誤差量一般較小，假定在截面內(nèi)兩齒輪齒廓仍保持漸開線形狀，為了便于分析，在齒輪薄片1n的基圓圓心建立坐標(biāo)系S1n，利用坐標(biāo)變換將齒輪薄片2n的基圓圓心的位置表達(dá)在坐標(biāo)系S1n下的坐標(biāo)r12n為：

r12n=rf2n-rf1n

(9)

式中：rf1n和rf2n分別為齒輪薄片1n和2n基圓圓心在全局固定坐標(biāo)系下的矢徑。

圖5 齒面間隙分布示意圖

圖6 薄片齒對間隙計算參數(shù)示意圖

(10)

(11)

(12)

(13)

2.3 齒輪彈性變形

輪齒在誤差條件下的嚙合過程如圖7所示，每一根彈簧代表一個薄片齒對，承載前各薄片齒對均存在間隙，承載后，在載荷的作用下，間隙最小的薄片齒對m先接觸并變形，當(dāng)此齒對的形變量δm與間隙量em之和大于齒對n的間隙量en時，齒對n開始接觸并承載，以此類推，直至所有參與接觸的薄片齒對產(chǎn)生的承載量的和等于外載荷F。

圖7 齒輪承載接觸過程

根據(jù)齒輪承載前后的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，齒輪承載后沿嚙合線方向的綜合位移量E可表示為：

E=δm+em=en+δn

(14)

即任意薄片齒對n的形變量δn大小為：

δn=δm+em-en

(15)

若δn≥0，則說明齒對n接觸，令其剛度等于kn。若δn<0，則說明齒對n未接觸，令其剛度等于0。

2.4 傳動誤差求解

根據(jù)以上建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行編程計算可求出誤差條件下齒輪傳動誤差大小，傳動誤差的求解流程如圖8所示。

圖8 傳動誤差計算流程圖

3 算例分析

以圖1所示的斜齒輪傳動系統(tǒng)為分析對象，研究軸承滾道圓度誤差和剛度對齒輪傳動誤差的影響規(guī)律，所有軸承的型號均為7213AC，齒輪變位系數(shù)為0，齒輪軸系的基本參數(shù)見表1。

表1 齒輪軸系的基本參數(shù)

3.1 軸承精度對傳動誤差的影響

不同精度等級的軸承對應(yīng)滾道的圓度誤差大小也不同，分析模型中軸承精度等級分別為6級、5級和無誤差時傳動誤差的變化情況，主動輪兩軸承相位差為π/2，從動輪兩軸承相位差為0，誤差階次都為1階，結(jié)果如圖9所示。

圖9 軸承精度對傳動誤差的影響

由圖9可知，傳動誤差呈現(xiàn)出由時變嚙合剛度導(dǎo)致的小波動和由軸承滾道誤差導(dǎo)致的大波動相疊加的周期性波動的形式，軸承精度不影響傳動誤差大波動的相位和頻率，但是隨著軸承精度的降低，傳動誤差大波動的幅值逐漸變大。

3.2 軸承滾道圓度誤差相位對傳動誤差的影響

為了分析軸承滾道圓度誤差相位對傳動誤差的影響規(guī)律，令從動輪軸系兩端軸承相位差為0不變，改變主動輪兩軸承相位差ψ分別為π/2和π，軸承精度為6級，誤差階次為1階，計算結(jié)果如圖10所示。

圖10 軸承滾道圓度誤差相位對傳動誤差影響

由圖10可知，軸承滾道圓度誤差的相位并不影響傳動誤差大波隨齒輪轉(zhuǎn)角變化的頻率，但是會改變大波的相位和幅值大小。

3.3 載荷對傳動誤差的影響

為了分析載荷對傳動誤差的影響規(guī)律，令模型中載荷T分別為200，300和400 N·m，軸承精度為6級，誤差階次為1階，主動輪兩軸承相位差為π/2，從動輪軸承相位差為0，分析結(jié)果如圖11所示。

圖11 載荷對傳動誤差的影響

由圖11可知，載荷的增加不僅會使傳動誤差變大，還會使由嚙合剛度導(dǎo)致的小波幅值變大，說明載荷的增加不僅會使軸承的變形增加，導(dǎo)致中心距變大，還會使齒輪的彈性變形增加。

4 結(jié)束語

本文建立了斜齒輪傳動精度的分析模型，綜合考慮了軸承的誤差和彈性變形以及齒輪在軸系誤差下的彈性變形與齒輪傳動誤差之間的關(guān)系，可為后續(xù)進(jìn)行考慮軸承誤差的齒輪動力學(xué)分析提供理論基礎(chǔ)。算例分析表明，軸承的彈性變形與滾道圓度誤差導(dǎo)致齒輪傳動誤差曲線呈現(xiàn)出大波的周期性波動的形式，與齒輪時變嚙合剛度導(dǎo)致的小波周期誤差相疊加形成齒輪傳動綜合誤差，從而說明軸承的誤差與彈性變形對齒輪傳動精度影響較大。軸承精度的降低不影響齒輪傳動誤差曲線的大波的頻率和相位，但是會增大大波的幅值。軸承誤差相位的改變不僅影響傳動誤差大波的相位角，還會改變波動的幅值大小。載荷的增加不僅會導(dǎo)致傳動誤差變大，還會導(dǎo)致傳動誤差小波幅值的增加。