(1)
式中：Mkn為應力強度因子的放大系數；ai為初始裂紋深度；a為裂紋深度；C為材料常數；Δσs為結構應力，結構應力與施加的外力平衡；m和n為裂紋擴展指數；ΔK為應力強度因子范圍；I(r)為載荷彎曲比r的無量綱函數。I(r)表達式為：
(2)
令
(3)
式中：ΔSs為等效結構應力；fm與fb為形狀參數。
從理論上來說，通過式(3)便可以得到焊接接頭的疲勞壽命，但在實際的工程應用中，式(1)中的兩個參數C和m需要大量的疲勞試驗數據修正，數據修正后的公式為：
N=(ΔSs/Cd)-1/h
(4)
式中：Cd和h為試驗常數[7]，見表1。
表1 主S-N曲線參數表(鋼材)
從式(3)中可以看出，等效結構應力的變化范圍由3個參數決定，即Δσs，t，I(r)。由此可見，等效結構應力ΔSs把不同的接頭形式、厚度、加載模式的疲勞S-N數據有效地統一了起來。
需要注意的是，I(r)中含有初始裂紋參數，而初始裂紋尺寸能夠對最終的壽命預測結果產生重大影響。等效結構應力法中關于無量綱函數I(r)1/m的計算分為兩種情況：一是在載荷控制條件下得到，二是在位移控制條件下得到。工程上一般使用偏于保守的載荷控制下得到的I(r)1/m。
I(r)1/m中的被積分項無法直接積分，但是可以采用數值方法獲得[2]，擬合后的非線性方程如下：
(5)
假如沒有缺陷或缺陷可以忽略不計，該值默認為接近0，積分區間上限為板厚，即裂紋一直增長到穿透板的厚度。不同的a/t值相當于考慮了不同的焊接缺陷對剩余壽命的影響，因此可以采用這種方法定量地評估含有焊接缺陷的構件的疲勞壽命。
ASME(2015)標準中規定公式(5)的適用條件是a/t≤0.1，但a/t≤0.2也是允許的，對于更大的裂紋尺寸，式(5)需要重新給定[7]。
2 考慮焊接缺陷的焊接接頭疲勞壽命評估方法
式(5)表明，在計算疲勞壽命時，結構應力法具有考慮初始裂紋的能力，即當存在裂紋式焊接缺陷時，可以將測得的初始裂紋深度a代入式(5)，通過計算得到I(r)1/m的值，計算焊接接頭的疲勞壽命。這種方法稱為直接裂紋法。
然而目前對于焊接缺陷的定性與定量研究還存在很多困難，即便是針對裂紋式缺陷，也未必可以直接測得初始裂紋深度，因此無法直接利用式(1)計算剩余壽命。針對這種情況，可以采用一種新的疲勞壽命評估方法，即等效裂紋法。
2.1 直接裂紋法
直接裂紋法是應用結構應力法評估疲勞壽命最簡單直接的一種方法，其關鍵在于準確地測量初始裂紋深度a。在文獻[5]中有應用直接裂紋法評估疲勞壽命的實例，簡單概述如下。
某含有咬邊缺陷的焊接中梁結構，實際測得對接焊縫處的咬邊缺陷深度最大值約為3 mm。假定該中梁結構有從1～3 mm不同的初始缺陷尺寸，應用結構應力法計算剩余疲勞壽命值，見表2。結果表明，隨著初始裂紋尺寸的增加，等效結構應力增大，剩余疲勞壽命減少。
表2 不同缺陷尺寸下的等效結構應力和剩余壽命
文獻[5]中的試驗結果表明，在加載約17萬次時，含有咬邊缺陷的對接焊縫處產生疲勞開裂，并且已經貫穿板厚，達到其疲勞壽命。
由表2可知，假定初始缺陷尺寸為3 mm時，理論計算出來的疲勞壽命值為18.1萬次，與疲勞試驗得到的結果17萬次非常接近，誤差僅為6.5%。由此可見直接裂紋法的有效性。
2.2 等效裂紋法
在實際工程應用中，很多時候焊接缺陷無法定量測出，在沒有具體數值的情況下，直接裂紋法不再適用。為了評估這類無法測出初始缺陷尺寸的焊接接頭的疲勞壽命，本文擬采用等效裂紋法。
等效裂紋法的中心思想是通過分析與評估件含有相同缺陷的試驗件的疲勞壽命來反求出等效初始裂紋值，進而對評估件進行修正，得到其疲勞壽命。操作步驟如下：
1)含缺陷樣件的制作。制作一定數量與評估件含有相同焊接缺陷的樣件，保證其連接方式以及承載方式與評估件相同。
2)疲勞試驗。在疲勞試驗機上對樣件進行疲勞試驗，直到焊縫失效開裂為止，統計每一個樣件的加載次數，取其平均值，即可認為該值便是具有同類缺陷的焊接接頭的疲勞壽命N。
3)反求初始裂紋尺寸。該過程是式(1)的一個逆過程，通過疲勞壽命N反推出初始裂紋深度a，N與a之間存在隱式的非線性關系，可認為與N對應的a是與該焊接缺陷有對應關系的等效初始裂紋深度。
等效裂紋法的出現極大地滿足了工程需要。在鐵路產品的研發制造過程中，一旦確定焊接缺陷類型，即可制作一定數量的樣本，通過等效裂紋法確定等效裂紋值，進而對模型進行修正。
3 等效裂紋法的驗證
通過以下兩個實例來驗證等效裂紋法的有效性。
實例一：現有對接焊焊接接頭尺寸如圖1所示，母材材料為16 Mnq，焊縫金屬為鉬絲。文獻[8]中已經得到了該焊接接頭的疲勞試驗數據，見表3。
圖1 對接焊焊接接頭
表3 對接焊焊接接頭疲勞試驗結果
制作缺陷樣件進行疲勞試驗的過程，可用有限元仿真手段來代替，本節將試驗數據與有限元仿真得到的結果進行對比，從理論上驗證等效裂紋法是否有效。
參考2.2節中的步驟1)，樣件制作過程在這里可等同為創建有限元模型的過程。
按照圖1所示幾何尺寸進行有限元建模，板厚為12 mm，采用八節點六面體單元和六節點五面體單元混合建模的方式，單元尺寸為5 mm，有限元網格數量為12 900個，節點數為19 190個,如圖2所示。
圖2 對接焊焊接接頭有限元模型
參考2.2節中步驟2)的疲勞試驗過程，采用與文獻[8]中試驗時相同的約束及加載方式對有限元模型進行約束和加載，通過仿真試驗計算出有限元模型的疲勞壽命。仿真結果云圖如圖3所示。
圖3 對接焊焊接接頭仿真結果云圖
借助Fe-weld軟件可以簡單方便地實現等效裂紋法評估疲勞壽命的過程[9]。在Fe-weld中可以通過定義a/t值來體現不同缺陷尺寸對焊接結構疲勞壽命的影響。
參考2.2節中的步驟3)，利用Fe-weld軟件反求出該對接接頭的初始裂紋尺寸。
假設本例中的缺口長度沒有直接給出。將在ANSYS中計算得到的結果文件導入Fe-weld中并調節a/t值，當a/t=0.033時，采用中值主S-N曲線計算得到此時的疲勞壽命約為380 846周次，與表3中第二組焊件的疲勞壽命324 000周次相近，誤差僅為17%。此時a值為0.4 mm，因此可以認為等效初始裂紋值為0.4 mm。表3中第二組焊件的缺陷尺寸為0.4 mm，與用等效裂紋法確定的等效初始裂紋值相同，這說明等效裂紋法可以相對準確地評估含這類缺陷構件的疲勞壽命值。對于該焊接接頭，當初始裂紋尺寸分別為0.3 mm、0.4 mm和0.5 mm時，其疲勞壽命的試驗值與理論計算值對比如圖4所示。
圖4 對接接頭疲勞壽命曲線
實例二：現有十字接頭幾何尺寸如圖5所示，材料為16 Mn。文獻[10]中分析了咬邊缺陷對超聲沖擊處理焊接接頭疲勞性能的影響，參考其未進行超聲沖擊處理的試驗樣件的疲勞壽命數據，進一步驗證等效裂紋法的有效性。
圖5 十字接頭幾何尺寸
參考2.2節中的步驟1)，樣件制作過程在這里可等同為創建有限元模型的過程。
采用八節點六面體單元和六節點五面體單元混合建模的方式，單元尺寸為2 mm，所建有限元模型如圖6所示，其中有限元網格數量為9 504個，節點數量為12 363個。
圖6 十字接頭有限元模型
參考2.2節中步驟2)的疲勞試驗過程，采用與文獻[10]中試驗時相同的約束及加載方式對有限元模型進行約束和加載，通過仿真試驗計算出有限元模型的疲勞壽命。仿真結果云圖如圖7所示。
圖7 十字接頭仿真結果云圖
參考2.2節中的步驟3)，利用Fe-weld軟件反求出該十字接頭的初始裂紋尺寸。
將在ANSYS中計算得到的結果文件導入Fe-weld中，調節a/t值，當a/t=0.078，即等效初始裂紋值為0.62 mm時，得到結構應力及等效結構應力如圖8所示，采用中值主S-N曲線計算得到此時的疲勞壽命約為185 235周次，文獻[10]中相
圖8 十字接頭焊趾處結構應力及等效結構應力
關數據表明，在原始焊態下，焊趾處存在深度為0.62 mm的缺陷時，其疲勞壽命為167 000周次，與仿真得到的理論值相吻合。這充分說明了等效裂紋法的有效性。
4 結論
1)等效結構應力ΔSs把不同的接頭形式、厚度、加載模式的疲勞S-N數據統一起來，解決了傳統評估方法中接頭形式無法“對號入座”的難題，為評估疲勞壽命提供了一種行之有效的途徑。
2)對于可以直接得到初始裂紋尺寸的缺陷，使用直接裂紋法可以準確地評估其疲勞壽命。表2中的數據表明，初始裂紋尺寸與等效結構應力之間是正相關的關系，初始裂紋尺寸越大，等效結構應力越大，剩余壽命則隨之減少。
3)對于一些無法測得具體尺寸的初始缺陷，可以通過一組有對應缺陷樣件的疲勞試驗，反求出等效初始裂紋，通過這種方式也可以求出有對應缺陷結構的剩余壽命。對比對接接頭與十字接頭的試驗結果與理論計算結果可知，使用該種方法計算得到的疲勞壽命與試驗得到的壽命值有很好的吻合性。
