理論與實(shí)踐訓(xùn)練相結(jié)合的大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)探索

【摘? 要】 提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果是大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)體系改革的主要問(wèn)題。本文就筆者所講授的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課為例，闡述加強(qiáng)理論教學(xué)與實(shí)踐訓(xùn)練相結(jié)合的課堂教學(xué)的重要性，這既增進(jìn)了課程的教學(xué)效果，又提高了學(xué)生自主的學(xué)習(xí)能力。

【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)效果;實(shí)踐訓(xùn)練;自主學(xué)習(xí)

引言

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理、 工業(yè)生產(chǎn)、自動(dòng)控制等很多領(lǐng)域有著及其顯著的應(yīng)用，學(xué)好并掌握數(shù)學(xué)的基本理論和計(jì)算方法是對(duì)高校理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的基本要求。對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的理工科學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)诖髮W(xué)學(xué)的主要數(shù)學(xué)課程就是《微積分》和《線(xiàn)性代數(shù)》。而以數(shù)學(xué)為主要專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，除了基本的理論課程《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》外，他們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)本專(zhuān)業(yè)的必修課程如《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、《解析幾何》、《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)》、《實(shí)變函數(shù)》、《數(shù)值分析》等，同時(shí)他們要結(jié)合自己以后的發(fā)展方向選學(xué)適合自己的專(zhuān)業(yè)選修課程如《運(yùn)籌學(xué)》、《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》、《線(xiàn)性系統(tǒng)理論》、《信號(hào)與系統(tǒng)分析》等。

當(dāng)今社會(huì)科技發(fā)展飛速，人工智能滲透到許多行業(yè)，而這些技術(shù)的依托基礎(chǔ)都與數(shù)學(xué)理論聯(lián)系的十分緊密，因此，數(shù)學(xué)出身的實(shí)用型人才在當(dāng)今智能型的社會(huì)生產(chǎn)和服務(wù)中受到了各行各業(yè)的青睞。這也給新時(shí)期的大學(xué)數(shù)學(xué)的培養(yǎng)指明了一定的方向，就是要培養(yǎng)高素質(zhì)的實(shí)用型數(shù)學(xué)人才。所謂的實(shí)用型數(shù)學(xué)人才，就是具有能運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并借助人工的智能工具解決實(shí)際問(wèn)題的人。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)理論，還要著力加強(qiáng)培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力和借助人工的智能工具解決實(shí)際問(wèn)題的操作能力，這樣才能培養(yǎng)出適應(yīng)新時(shí)代需要的高素質(zhì)實(shí)用型數(shù)學(xué)人才。

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，很多課程都在為培養(yǎng)實(shí)用型的數(shù)學(xué)人才打基礎(chǔ)，如《圖像處理中的數(shù)學(xué)方法》、《信號(hào)與系統(tǒng)分析》、《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》、《運(yùn)籌學(xué)》等課程。這些專(zhuān)業(yè)課程是學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中的橋梁和紐帶。所以，讓大學(xué)生學(xué)好這些專(zhuān)業(yè)課程不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理論的重要性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的意義，而且能為很多學(xué)生今后的工作和學(xué)習(xí)指明方向。作為大學(xué)的數(shù)學(xué)老師，要在課堂上著重培養(yǎng)學(xué)生具有運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，以此才能真正提高課堂的教學(xué)效果。

本文下面將以筆者所講授的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課為例，探討提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果的課程教學(xué)方法。

1.《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課程簡(jiǎn)介及教學(xué)現(xiàn)狀

1.1課程簡(jiǎn)介

最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中最早發(fā)展起來(lái)的分支之一，其在電力工業(yè)、國(guó)防工業(yè)、交通運(yùn)輸和國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理等部門(mén)有著廣泛的應(yīng)用，《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》就是求解最優(yōu)控制問(wèn)題的方法和理論。

通過(guò)學(xué)習(xí)《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》，可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際中遇到的最優(yōu)控制問(wèn)題的能力，其主要的內(nèi)容有：變分法，最大、最小值原理，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，系統(tǒng)的可控性和可觀(guān)測(cè)性。

1.2教學(xué)現(xiàn)狀

筆者現(xiàn)就中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課為例來(lái)展示《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課的教學(xué)現(xiàn)狀，該課程為中南民族大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)選修課，在選修本課程之前，學(xué)生必須先修完數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和常微分方程等相關(guān)課程。該課程安排在第5個(gè)學(xué)期進(jìn)行，每周四節(jié)課，總的課時(shí)數(shù)為32學(xué)時(shí)。

中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)所用的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課教學(xué)用書(shū)主要是呂顯瑞、黃慶道編著的教程[2]，教學(xué)過(guò)程主要采用課堂理論講授為主，在32學(xué)時(shí)里系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)求解最優(yōu)控制問(wèn)題的基本方法和理論。結(jié)合筆者近兩年的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課的期末課程考試卷面成績(jī)來(lái)看，見(jiàn)下圖1，學(xué)生的分?jǐn)?shù)分布基本成正態(tài)分布，符合正常規(guī)律，效果較好。

2.《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課程的教學(xué)方法

2.1傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法

傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂主要采取以教師講授數(shù)學(xué)理論為主，很少注重?cái)?shù)學(xué)理論解決實(shí)際問(wèn)題的訓(xùn)練力度，長(zhǎng)時(shí)間的講授純粹的數(shù)學(xué)理論會(huì)讓很多學(xué)生失去對(duì)數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)興趣，長(zhǎng)此以往數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)并不能達(dá)到理想的教學(xué)效果。

當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時(shí)代，而這些技術(shù)的背后都需要有強(qiáng)大的基礎(chǔ)學(xué)科理論作為依托，其中，數(shù)學(xué)理論是這些基礎(chǔ)學(xué)科理論的主要核心之一，因此，培養(yǎng)和造就一批批身具堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論又懂得數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的當(dāng)代大學(xué)生是教育的主要任務(wù)之一，為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，我們就需要好的教學(xué)方法來(lái)提高大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效果。

2.2理論與實(shí)踐訓(xùn)練相結(jié)合的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課的教學(xué)

（1）數(shù)學(xué)理論與習(xí)題訓(xùn)練相結(jié)合。與傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不同，筆者所講授的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課專(zhuān)門(mén)分出9個(gè)學(xué)時(shí)來(lái)供學(xué)生做訓(xùn)練及建模，具體的學(xué)時(shí)如下表1：

通過(guò)分出適當(dāng)?shù)牧?xí)題練習(xí)及建模實(shí)訓(xùn)學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生更好的掌握已學(xué)的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)》課程的基本理論，同時(shí)，學(xué)生在做題中可以發(fā)現(xiàn)自己的薄弱環(huán)節(jié)及生疏的知識(shí)點(diǎn)，這樣他們能夠根據(jù)實(shí)際情況采取適合自己的自主學(xué)習(xí)方式進(jìn)行補(bǔ)漏和消化，進(jìn)而能夠讓絕大部分學(xué)生更好的掌握好所學(xué)的理論知識(shí)，從而提高課堂教學(xué)效果。

（2）數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練相結(jié)合。另外，筆者所講授的《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課還專(zhuān)門(mén)分出5個(gè)學(xué)時(shí)來(lái)供學(xué)生做數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，具體的學(xué)時(shí)如上表1中所示。

數(shù)學(xué)建模在很多實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮了巨大的應(yīng)用，如人口數(shù)量的估算、經(jīng)濟(jì)總量的預(yù)測(cè)、綜合國(guó)力的評(píng)估、傳染病的擴(kuò)散態(tài)勢(shì)及其控制等等。數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論從實(shí)際問(wèn)題中抽象、提煉出來(lái)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，并用其模擬實(shí)際問(wèn)題。而《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》雖然是數(shù)學(xué)理論，但是其與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系非常緊密，最優(yōu)控制問(wèn)題實(shí)際就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建問(wèn)題，其經(jīng)典的應(yīng)用例子有很多，如快速到達(dá)問(wèn)題、登月艇的軟著陸推力控制問(wèn)題、基金的最優(yōu)管理問(wèn)題、工廠(chǎng)的生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模過(guò)程其實(shí)就是最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，因此，在講授《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課程時(shí)，除了一定學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)理論課外，還要著重加強(qiáng)實(shí)際控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練的力度，這樣能更好的促進(jìn)《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本門(mén)課程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，增加他們學(xué)習(xí)本門(mén)課程的熱情。下面，筆者將舉出《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課程中的一個(gè)實(shí)際例子。

基金的最優(yōu)管理問(wèn)題：某基金會(huì)有30萬(wàn)元，準(zhǔn)備將這筆錢(qián)存入銀行，年利率為10%，這筆錢(qián)計(jì)劃用40年，40年后要求只剩下0.5萬(wàn)元作為結(jié)束事宜，根據(jù)基金會(huì)的需要，每年至少支取5萬(wàn)至多支取8萬(wàn)元作為某種獎(jiǎng)金。現(xiàn)在問(wèn)題是每年支取多少才能使得基金會(huì)在40年中從銀行取出的總金額最大。

數(shù)學(xué)建模過(guò)程：用表示第年存入銀行的總錢(qián)數(shù)，是第年從銀行支取的錢(qián)數(shù)，則上述問(wèn)題的動(dòng)態(tài)方程為

從而，基金的最優(yōu)管理問(wèn)題就是求滿(mǎn)足約束的使得取最大值，這樣就完成了對(duì)這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，然后再用最大值原理即可以求解出這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題。

通過(guò)上述例子可以看出，數(shù)學(xué)建模過(guò)程很好把數(shù)學(xué)理論和最優(yōu)控制問(wèn)題有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，這能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理論的魅力和應(yīng)用價(jià)值，從而更能激發(fā)他們主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的積極性，這樣，《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課程的教學(xué)效果也會(huì)有很大的提高。

3.《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課的其它內(nèi)容安排

筆者除了通過(guò)數(shù)學(xué)理論教學(xué)與習(xí)題訓(xùn)練及數(shù)學(xué)建模實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方法之外，還通過(guò)適當(dāng)?shù)匾胱钚碌谋鹃T(mén)課程的前沿應(yīng)用研究進(jìn)展，并結(jié)合筆者所從事的研究?jī)?nèi)容共同為學(xué)生提供一些實(shí)際的科學(xué)研究例子，如在漁業(yè)等水產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中的最優(yōu)收獲問(wèn)題，為同學(xué)們展示了最大值原理子這一問(wèn)題的最新應(yīng)用研究。這部分內(nèi)容一般安排2個(gè)學(xué)時(shí)來(lái)講，筆者稱(chēng)之為相關(guān)新研究導(dǎo)論，具體安排見(jiàn)表1中所示。

另外，筆者在平時(shí)課堂上開(kāi)展2次最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模比賽，給出一些綜合設(shè)計(jì)性的題目，讓學(xué)生大膽嘗試，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和鉆研精神。

4.結(jié)束語(yǔ)

筆者把數(shù)學(xué)理論教學(xué)與實(shí)踐訓(xùn)練相結(jié)合的教學(xué)方法應(yīng)用在《最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)理論》課堂的教學(xué)中，通過(guò)近2年的教學(xué)實(shí)踐可以看出，該方法很好地到達(dá)了預(yù)定的教學(xué)效果，不僅培養(yǎng)了學(xué)生較好的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，而且很好地訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手建模的能力，為培養(yǎng)新時(shí)期社會(huì)需求的實(shí)用型數(shù)學(xué)人才做出了積極貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]吳云天，馬菊俠. 大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的進(jìn)一步改革[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2010（26）：47-48.

[2]呂顯瑞，黃慶道.最優(yōu)控制理論基礎(chǔ)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2008.

基金項(xiàng)目：2018 年度中南民族大學(xué)校級(jí)一般教學(xué)改革項(xiàng)目（JYX18033）。

作者簡(jiǎn)介：張國(guó)東，男，河南信陽(yáng)人，博士，副教授。研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)及控制。