多元“對話” 促結構融通
——以《正比例的意義》的教學為例

江蘇南京市雙塘小學 武 捷

數學結構化學習需要將數學學習的研究對象看成一個整體，學生在已有知識經驗的基礎上，借助教師對數學教學內容的整體理解與適切的課程開發，經歷個性化的連續、關聯、循環的認知轉化，促進結構思維并實現心智轉換。在結構化的觀課、評課、思課、研課中，筆者越來越清晰地看到結構化視角下教師與文本、與學生、與過往經驗、與思維發展方向的對話，教師之思更有方向、教師之言更有力量、教師之察更有角度。

一、對話文本：學理分析，促進知識結構縱橫成網

1.教學宏觀背景研究

在數學教育從注重“雙基”到“四基”再到“核心素養”的當下，我們有必要弄清楚知識、能力、素養之間的關系。長期以來，我們的教學一直是一個個知識點的教學，因為教師們大多依據教材的編排而為，因此學生頭腦中的知識也常常是點狀不連續的。結構化學習的教材觀是：整體進入，縱橫成網，融匯貫通。學習前將每課放在一定領域、一定知識結構下來對待，找準教學內容的前延后續，縱向地理出學習內容在本單元、本冊、年段、全冊的位置，前后關系。同時，橫向地分析所教知識在這冊中除了知識結構之外的思想、方法、培養目標、學科核心素養等共同之處和各個側重點。在解讀教材時，教師回歸到知識發生的源頭，不僅要找到知識的元素，更要發現知識元素的有機聯系。

《正比例的意義》是小學階段最后一節新授課，它與除法、分數和比等知識有極大的關聯。正比例可以算作分數從大板塊中發展開來的一部分,在結構化理念的指引下，聚焦分數大板塊。梳理蘇教版數學12冊教材發現，“除法—分數—比—比例”這條隱線的研究是貫連整個小學的，從三年級集中研究分數往下追溯，二年級的平均分、等分除和包含除是“分”這條支流的上游，再往前一年級的減法、連續減去相同的數直至減完，這是“分”的源頭，往上追看，“分數的認識”之后的性質、運算，百分數的出現，比、比例，這些對于分數更為深入、系統的研究集中在五、六年級。其中，比和比例的研究全部安排在六年級展開，因此整體上理解分數這個大板塊在小學階段的意義與價值很有必要。

再看一看這里交流的正比例的意義，它描述的是兩個相關聯的量變化中的關系，蘇教版數學早在二年級就出現過相似的痕跡（見下頁圖1）：

這里量的變化是相伴產生的，學生利用不變的量“每只船坐5人”成功獲得“幾條船就能坐幾個5人”這樣的經驗，這是學生初步理解兩個量的相互影響，伴隨變化的過程，學生用乘的思維再反過來理解不變的量。

2.教學點中部剖析

若課時內容是個點，那么單元內容就是一條線。“點動成線，點線相連。”要理清課時內容在單元中的前后聯系，充分認識課時內容在單元中的地位、作用和價值，把握遞進的層次和邏輯關系，形成單元結構塊。

圖1

《正比例的意義》是小學數學“數與代數”中重要的內容之一，也是學生系統學習函數的開始。函數思想的建立更多體現在第三學段，可以說正比例、反比例的研究是函數的重要啟蒙，對六年級學生而言，這是一次數領域中的飛躍。那么，這個階段我們如何定位函數的概念？簡單來說：函數是一種以運動和變化的觀點來反映兩種數量之間相互聯系的一種數學模型。小學階段所探究的正比例意義、正比例關系也是當中最簡單、最線性的關系，追溯前五年的數學學習過程，學生經歷過探索規律、數量關系和運算公式中多個量的變化、字母表示數中多個字母之間的關聯……這些都為學生學習正比例的意義奠定了一定的知識基礎。同時，正比例意義的學習將直接為反比例意義的學習提供研學方法和研學模式，又為后續的解決實際問題，乃至于將在初中系統地學習函數做好了知識和方法上的準備。

二、對話學生：學情調研，關注個體成長的“彈性”

學生學習新知識時，必須與其已有知識發生關系，以已有知識經驗為載體來理解新知識，重新構建知識體系。了解學生的學習潛在狀態、現實狀態以及發展的可能狀態，基于真實學情設計教學、組織學習活動才能讓學習真正深遠。以《正比例的意義》這個教學內容為例，筆者進行了綜合的分析。

1.學情訪談

教師課前了解了學生對于涉及的兩種相變化的量的認知基礎，學生能夠結合自身充分的生活經驗，舉出大量實例。比如在訪談中，當涉及“兩種相關聯的量”這個話題時，有的學生就說：大樹生長的高度跟它生長的年份相關聯，還有的說一天當中氣溫是隨著時間的變化而發生變化的，等等。學生對于相關聯的含義是有自己的理解的，但不可否認的是，從學生面對正比例的學習角度來看，還存在一定的認知困難。因為從研究數量關系的角度來看，學生對于以往的數量關系，包括一些運算公式有比較清晰的了解，比如路程、時間、速度這組常見的數量關系，但還僅僅停留在對具體問題的解決上，而正比例的意義是要從一種運動和變化的觀點去理解數量間的關系，要通過觀察、分析兩種數量之間的變化情況、變化規律，進而達到對兩個變量關系的進一步理解。因此，學生對數量關系的認識和思考將從以往的靜態過渡到今天的動態觀察分析，乃至抽象概括。這種研究問題的角度對于學生來說還是比較陌生的。

2.知識點調查

課前設計了這樣一份學情了解單（如圖2），利用學生熟悉的話費場景，感受不同量間的關聯，從反饋可知，學生可以從情境中抽取不同的量，這是學生以往解決問題提煉數量關系積累下的經驗，但在表達兩個量之間有怎樣的關系時，困難較大，不知如何表達或者只關注到一個量是如何變化的學生較多。說明量之間是如何產生關聯的？怎樣一起變化的？什么是不變的？這些是真正的難點。

圖2

正比例函數思想的價值是什么？如果只是記住某段描述或模仿，這僅僅是基本知識、基本技能的層面。學生學習正比例的意義，應在系統的模型背景下展開研究，其更深遠的價值在于學生以一種運動和變化的觀點、變化的眼光來看待生活中的現象，在變化中尋求對應關系，在對應中確定事物間的聯系，從而實現與以往觀察的角度不同的理解。學生構建正比例的模型，需要教師提供豐富的研究素材：文字、表格、關系式、圖像……利用多種形式來促進理解，從而有意義地建構正比例的概念本質。

三、對話時空：學程設計，凝望課堂生長的模樣

小學生的數學思維從直觀思維開始，連接生活經驗和親身體驗，在生活情境中抽象出數學問題，讓生活現象轉化為學生的認知對象，并逐步建立整體表象。本課從學生的已有的知識基礎和生活經驗出發，利用購物的場景，引發學生感受量、相關聯的量的意義，引導學生觀察、分析，從而發現成正比例量的規律，概括成正比例量的特征。課堂上啟發學生獨立思考，提供自主探究的平臺，凡是能讓學生自己發現的，就讓學生親自去探究。通過課始、課中的數學活動，促進學生把在課堂上所學的數學知識應用到解決實際問題中去，進一步培養學生的觀察能力和發現規律的能力。

1.連續：整體進入，關聯元素

正比例的意義探究是有深度的，它的意義在于相關聯量之間的“變與不變”，教材運用時間與路程這組量展開，并非學生最熟悉的場景，本課中更為形象地利用數量與總價這組直觀的量開展研究，還原真實的購物情景，喚起學生的生活經驗，“從圖中你能找到不同的量嗎？”學生從感受量開始一步步體會相關聯的量，提取多樣豐富的素材。本課考查了學生分類、抽象的能力，學生經過合情推理展開聯想，對量的關聯性的感受是充足的。

接下來充實關聯的方式。動畫模擬是一種形象、直觀的表征方式，學生通過觀察三組動畫中兩個量的變化過程，進行匹對，這需要特征上的提煉，通過反復推敲，學生相互交流，抽取出數學元素，在變化的過程中感受不變的量，為后續知識的展開形象地進行鋪墊。

2.關聯：主題探究，聯想發散

結構化的學材設計能引領學生積極地在新舊知識之間建立聯系，將原有的經驗投射到新的情境中，將外在的信息轉化成“自己的知識”，更加有利于學生的學。本課中學生在有關數量與總價的相關研究之后，圍繞自身對正比例意義的感悟進行發散思考，將素材進行個性化的豐富，自發地利用小學階段其余一些需掌握的數量關系作為研究素材，將熟悉的量串聯起來。由此深入思考，舉例子、列數據、觀察對比，概括總結，自我發現、自主整理，學生的研究有明確要求，反饋時有層次劃分，互通聯系，對比觀察，促進對概念本質的理解。

3.循環：多向遞進，思維攀升

在最后的層階練習階段，給學生提供了數形結合、動靜相融的練習空間，有同心圓、同心正方形的變化，有數學小實驗，更有回歸生活的現實素材，一個量隨著另一個量變化的過程在活動中動態生成了。學生在教師設計的活動中、看似不經意的動作中感受到正比例的隨處可見，為深度思維的發生提供更大的空間。

四、對話效果：學評調節，循環知識的生長結構

結構化學習提倡根據知識的內在聯系對知識進行歸類，使知識條理化、組塊化。學評調節的重要作用是既能幫助學生做好系統化的整理，也能將問題延伸，將方法內化。回顧整理時讓學生通過觀察和思考找出各部分內容之間的關系或者蘊藏的規律，以達到完善認知結構的目的。結構化學習還強調對知識學習的自然延伸，在自然而然的知識應用中，激起學生的問題再生，有序創造知識結構。

本課的最后，學生在具體情境中識別、再認識正比例關系之后，感受到動態中的知識，產生思考：圖形的變化背后是否存在不變的因素？隨處可見的“量”之間是否有關聯？有怎樣的聯系？除了本課所感受的“正”的關系，還會有其他的可能嗎？帶著這些思考，學生不斷地在頭腦中建構新的結構。

在結構化的視角下，回望知識生長中每階段的模樣，看清來時的軌跡和要去的路，全新的體驗讓思維深入。結構化學習不是灌輸，而是點燃火焰，從自學、同伴互學，向網絡拓展，在問題的引領中像“小科學家”一樣去發明、創造，為兒童多元發展提供思維動力，讓課堂不斷生長著新的生命氣息，讓學生的學習逐步豐富、精細化，在自然中實現價值提升。