潛移默化中理解
——無痕教育課堂實施策略案例解讀之二

蘇州大學實驗學校 徐 斌

無痕教育的基本要義是隱藏教育意圖，遵循教育規律，通過間接方式，使得受教育者在不留痕跡中得到更好的教育和發展。正如大教育家蘇霍姆林斯基所說：“任何一種教育現象，孩子在其中越少感覺到教育者的意圖，它的教育效果就越大。”無痕教育不僅是一種教育思想，也是一種教育方法。從理念思想到操作方法，需要策略的支撐。我們認為無痕教育的課堂實施有四種基本策略：不知不覺中開始，潛移默化中理解，循序漸進中掌握，春風化雨中提升。本文以案例的方式解讀第二種基本策略。

在教育心理學界一直流傳著一句口號“為理解而教”，筆者甚為認同。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在附錄中專門列出了描述結果目標的行為動詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運用”。其中，“理解”是指描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。一般說來，理解有三級水平：低級水平是知覺辨認，即“是什么”；中級水平是意義本質，即“怎么樣”；高級水平是系統結構，即“為什么”。雖然“理解”是一種結果性目標，具有顯性特征，但是“理解”又是一種內隱的心理活動，很難具體把握。因此，要讓學生真正理解，需要教師精心選擇學習素材，靈活設計學習過程，恰當選擇教學方法，讓學生在潛移默化中理解知識，發展思維，感悟思想，形成素養。無痕教育理念觀照下的課堂實踐策略——潛移默化中理解，具體有如下四種方法：

一、在直觀操作中感知

蘇霍姆林斯基曾經說過：“孩子的智慧在他的手指尖。”小學生的年齡特征啟示我們，活潑、好動、天真、愛玩是其顯著表現；小學生的思維發展規律告訴我們，具體形象思維是主要特征，低年級更需要動作思維，而高年級逐步過渡到邏輯思維。因此，為了幫助學生更好地理解知識，應該更多地讓學生開展實驗、操作、嘗試等活動，讓學生在直觀操作中學習數學，調動多種感官功能，進而進行觀察、分析、抽象、概括，有效地理解概念、方法和規則，促進數學技能的形成。

【教學片段1】認識乘法

引入新課后，首先組織學生觀察例題圖（如圖1）。提問：要知道圖上有幾只兔和幾只雞，你有什么辦法？

圖1

預設學生回答：數兔時，是2個2個數的，因為它們是2只2只地站在一起的；數雞時，是3個3個數的，它們都是3只3只地圍在一起的。

提問：這兩道加法有什么相同的地方？

（都是幾個幾相加）

接著讓學生動手擺小棒：先擺出4個2，再擺出2個4。

然后讓學生畫圓片：先畫出3個5，再畫出5個3。

最后讓學生拍手游戲：先拍手表示3個3，再拍手表示2個5。

乘法概念的建立首先需要理解“幾個幾”，因為“幾個幾”是乘法的物化形態。而要讓學生理解“幾個幾”這一抽象知識則需要充分的直觀操作，讓學生的數學思維在指尖上跳躍。以上學習過程，從直觀的觀察出發，進而讓學生操作小棒、畫圓片圖、拍手游戲，讓學生對奇妙的數學現象用眼看、用耳聽、用手做、用腦想，調動他們的多種感官參與數學學習，從而使得學生的數學學習有趣、有效、有意義，真正讓學生對“幾個幾”的數學現象熟記于心、操作于行，學會從“幾個幾”的角度去觀察生活中特殊的數學現象，進而為深入理解乘法的意義打下堅實的基礎。這也順應了兒童的思維特征，正如烏申斯基所說：“一般說來，兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維的。”

【教學片段2】畫線段圖解決問題

圖2

（課件逐步動態漸變顯示，教師針對性提問）

你能說出圖2中紅花的朵數是藍花的幾倍嗎？為什么？

如果用兩種顏色的正方形分別表示藍花和紅花，可以看清數量之間的關系嗎？

如果把這些小正方形靠近并拼接在一起，你還能看清倍數關系嗎？

如果把帶子的寬度變窄一些，長度不變，你還能看清倍數關系嗎？

如果把帶子再變一變，這就成了什么圖形？（線段圖）

第一條線段表示什么？第二條線段表示什么？

揭題：看來，用線段圖可以表示數量之間的關系，線段圖是學習數學的重要幫手。今天這節課我們就一起來學習畫線段圖解決問題。

弗賴登塔爾曾經指出，數學學習是一個再創造的過程。在這一過程中，學生知識經驗的獲得、個性特點的發展和教學能力的形成，都來自學生在教學活動中的積極參與，而參與程度卻與學生對數學學習是否感興趣有著密切的聯系。為此，從生活現象中抽取結構化的數學學習素材，讓學生帶著對未知的探索，經歷數學學習的發現之旅，才能激發學生的深度學習，讓學生潛移默化地形成對新知的理解。線段圖對于三年級學生來說是比較抽象的，要讓學生在復習舊知和直觀感知中逐步了解線段圖的來源和含義。上述教學過程中，通過“超級變變變”的直觀游戲，讓學生逐步理解線段圖的意義。課始，設計了紅花和藍花之間的倍數關系實物圖，接著過渡到正方形圖，然后漸變為條形圖，再改變寬度不改變長度，進而抽象為線段圖。這樣的設計，符合兒童的認知規律，展現了直觀到抽象的發展過程，使學生對線段圖的產生和意義有了本源性認識，為接下來畫圖和分析數量關系做好鋪墊。

二、在對比分析中過渡

對比是一種重要的教學思想。俗話說，沒有對比就沒有鑒別。在對比中可以厘清數學知識的內在要素，可以區分不同方法的差異，可以促進兒童思維從初級階段向高級階段過渡。教師在設計教學過程時，應特別注重讓學生經歷知識的形成過程，暴露學生的思維過程，理解數學實質和思想方法，幫助學生理清相關知識之間的區別和聯系，完成從知識向能力的轉化。

【教學片段3】一位數乘兩位數

提問：如圖3，兩只猴子一共采了多少個桃子？怎樣列式解答呢？（列出乘法算式14×2）

（1）動手實踐，自主探索算法。（略）

（2）展示計算過程，形成初步豎式。

圖3

（3）對比分析，過渡到簡化豎式。

組織學生繼續運用初步豎式計算13×2，11×7，32×3。（指名三個學生板書）

師（提問）：這些算式有什么共同的地方？

生1：第一次乘的得數都是一位數。

生2：第二次乘的得數都是整十數。

生3：在加的時候個位都是加0，得數十位上的數也是一樣的，寫了兩次。

師（提問）：像這樣寫豎式你有什么感覺和建議？

生1：感覺有點煩！

生2：一個數加0得數不變，可以不用加。

生3：得數十位完全可以只寫一次。

生4：把第二次算的得數直接寫在上面得數十位上。

生5：下面那條橫線也可不畫。

師：是呀！這樣就可以變得簡便了。

（學生和原先板書的學生修正豎式，例題也相應轉變成簡便寫法）

乘法豎式的算理和算法是本節課的重點，也是學生理解的難點。教師利用主題圖，幫助學生直觀形象地領悟了豎式的算理之后，首先讓學生在直觀的基礎上來理解算理，學生很容易就能掌握豎式的“初步”形式。而簡便豎式的教學也不是教師強加給學生的，是在師生的共同計算、觀察、比較的基礎上自然生成的。教師在教學完乘法豎式的計算步驟之后，并沒有立刻把算法進行簡化，而是引導學生繼續用這種方法做題，促使學生自己親身體驗后發現：“初步”豎式雖然清楚，但“有點煩”。通過這一引導，“把豎式進行簡化”這一想法呼之欲出，成了全體學生的追求方向，水到渠成地“創造”出了更簡便的豎式寫法。在這里，過程是學生親身經歷的，方法是大家在充分研究的基礎上生成的，充分發揮了學生的主觀能動性，把主導和主體有機地結合在一起，給了學生足夠的探討空間去體驗、去創造、去領悟，充分地相信學生的能力，尊重學生的感悟，達到了真正理解的目的。

三、在變式舉例中內化

變式是通過變更對象的非本質特征而突出對象的本質特征的表現形式。中國的數學雙基教學具有四個方面的經驗：記憶通向理解，速度贏得效率，嚴謹形成理性，重復依靠變式。鄭毓信教授曾經指出，數學教師有三項基本功：善于舉例、善于提問、善于優化。因此，在學生理解知識的關鍵時候，教師需要從教材呈現的素材例子出發，通過變式舉例，讓學生在變化中尋找不變，在不變中內化認知，在提問中達到思維優化。

【教學片段4】認識倍

（學習例題，學生初步認識倍的含義之后進行兩次變式）

1.第一次變式。（例題是2朵藍花與8朵紅花）

如果藍花2朵，紅花變成10朵，紅花朵數是藍花的幾倍？（10÷2＝5）

如果藍花的朵數不變，紅花變成12朵呢？（12÷2＝6）

如果藍花2朵，紅花變成4朵，紅花朵數是藍花的幾倍？（4÷2＝2）

如果藍花朵數不變，紅花有2朵呢？（2÷2＝1）

（通過“1倍”這一特例，讓學生理解此時即兩種花同樣多）

2.第二次變式。（在例題2朵藍花與6朵黃花的基礎上）

如果藍花變成3朵，依舊要使黃花朵數是藍花的3倍，可以怎么辦？

如果藍花變成4朵，依舊要使黃花朵數是藍花的3倍，可以怎么辦？

如果藍花變成1朵，依舊要使黃花朵數是藍花的3倍，可以怎么辦？

3.歸納小結。

逐步讓學生理解：“把一個數量看作一份，另一個數量有這樣的幾份，就是它的幾倍。”

變式是為了尋找不變。對概念含義的理解除了需要模仿與重復，還需要變式訓練。上述教學片段設計了兩次變式：第一次變式，藍花不變，紅花從8朵變為10朵、12朵、4朵、2朵等，通過改變份數，讓學生熟練掌握用除法計算倍數的方法；第二次變式，倍數不變，改變一份的數量（從 2朵變為3朵、4朵、1朵等），從而幾份的數量相應改變，讓學生理解倍的本質含義。在變式訓練中，還專門設計了“1倍”這一特例，回到兩個數量比較的出發點——同樣多，把“倍比”與“差比”進行了溝通與關聯，培養學生思維的完整性。歸納小結則幫助學生對知識的理解從具體逐步轉為抽象，把倍的概念與“幾個幾”以及“份數”關系進行了溝通，促進學生認知結構的形成。

四、在板書提煉中建構

板書是教師智慧的結晶，更是課堂教學的線索，是學生理解知識的腳手架。“好的板書可以突出新授知識的組織結構，可以彌補學生從聽覺渠道接收信息的缺陷，如短時記憶容量的限制。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“教學建議”中也特別指出：“必要的板書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡。”因此，有經驗的教師總會精心設計板書，通過板書的形成過程引領學生回顧與反思，總結學習過程與經驗，提煉數學思想方法，形成數學能力和素養。

【教學片段5】解決問題的策略：列表

教師結合學生整理的信息逐步板書（圖4左圖）：

圖4

提問：為什么選擇把小明的情況列到表里面？（小明的信息比較齊全）

追問：要求小軍買了多少本，你能選擇有關的條件填表、列算式嗎？（板書圖4右圖）

提問：這兩個表有什么共同的地方？這兩個表格也可以合并起來。（板書變成圖5）

圖5

圖6

提問：如果去掉表格線，甚至去掉姓名，你還能看清數量之間的關系嗎？（板書變化成圖6）觀察這個箭頭圖，你發現什么在變化？什么沒有變化？

要讓學生真正理解策略內涵并形成策略意識，需要讓學生經歷策略的形成過程并體驗策略的獨特價值。上述板書的逐步結構化，不僅使學生了解列表的內在需要和基本方法，而且通過表格的合并和簡化感受列表策略的價值。前兩個表格的合并，本來各有兩行，但合并后因為都有小明的信息，因此只需要三行，使學生體驗到列表整理信息的簡潔和有序；然后去掉表格線和姓名，使得表格進一步簡化，凸顯了列表策略對于數量關系分析的作用，發展了一一對應的數學思想。