建立方程模型 加強應用意識

文 康葉紅

生活離不開數學，數學離不開生活，數學知識源于生活而最終服務于生活。一元二次方程是揭示現實社會數量關系的一個重要數學模型。用一元二次方程解決實際問題時，通常要經歷以下過程：從實際問題中抽象出數學數量關系，列出一元二次方程求出它的根，進而解決實際問題。具體如下圖：

在現實生活中，許多問題中的數量關系都可以抽象為一元二次方程。用一元二次方程解決實際問題的常見題型有：圖形的面積問題、平均變化率（增長或下降）問題、銷售問題等。下面我們結合例題，一起來看一下如何用一元二次方程解決實際問題。

問題1 圖形的面積問題

例1（2020·江蘇南京秦淮一模）手卷是國畫裝裱中橫幅的一種體式，以能握在手中順序展開閱覽得名。它主要由“引首”“畫心”“拖尾”三部分組成（這三部分都是矩形形狀），分隔這三部分的其余部分統稱為“隔水”。下圖中的手卷長1000cm，寬40cm，引首和拖尾完全相同，其寬度都為100cm。若隔水的寬度為xcm，畫心的面積為15200cm2，求x的值。

【分析】問題中出現的圖形是矩形，其數量關系是：矩形的面積=長×寬。正確審題，弄清題意，體會“算兩次”的數學方法，理性思考即可。

解：根據題意，得（1000-4x-200）·（40-2x）=15200。

解這個方程，得x1=210（不合題意，舍去），x2=10。

所以x的值為10。

【總結】用一元二次方程解決實際問題的一般過程為：審、找、設、列、解、驗、答。其關鍵是找出實際問題中數量之間的相等關系，列出方程。一般地，當我們經歷以上過程，便能更進一步體會建立數學模型的思想，積累數學活動的經驗，增強數學的應用意識。

問題2 平均變化率（增長或下降）問題

例2（2020·上海）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%。

（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；

（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8月份、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等。求該商店去年8月份、9月份營業額的月增長率。

【分析】平均變化率問題（以增長為例）中常用的數量關系是：變化前的量+增長的量=增長后的量，增長的量=變化前的量×增長率。我們將這兩個數量關系合起來可表示為：變化前的量×（1+平均增長率）=增長后的量。

第（2）問中，如果設平均增長率為x，則可用表格表示為：

解：（1）450+450×12%=504（萬元）。

答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額是504萬元。

（2）設該商店去年8月份、9月份營業額的月增長率是x。

根據題意，得350×（1+x）2=504。

解這個方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）。

答：該商店去年8月份、9月份營業額的月增長率是20%。

【總結】平均變化率問題的關鍵是理解平均變化率和變化量的區別，如果設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過n次變化后的數量關系可表示為a×（1±x）n=b。

問題3 銷售問題

例3（2020·江蘇南京建鄴一模）某商場將進價每件30元的襯衫以每件40元銷售，平均每月可售出600件。為了增加盈利，商場采取漲價措施。若在一定范圍內，襯衫的單價每漲1元，商場平均每月會少售出10件。為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種襯衫每件的價格應定為多少元？

【分析】這個問題中的數量關系較多，如漲價前每件襯衫的利潤×漲價前每月的銷售量=漲價前總利潤，即（40-30）×600=6000，漲價后每件襯衫的利潤×漲價后每月的銷售量=漲價后總利潤，漲價后每件襯衫的售價-每件襯衫的進價=漲價后每件襯衫的利潤，漲價前每月的銷售量-10×漲價數=漲價后每月的銷售量等。我們可以借助列表的形式分析其中的數量關系，設這種襯衫每件的價格應定為x元，則可表示如下表。

解：設這種襯衫每件的價格應定為x元。

根據題意，得（x-30）［600-（x-40）×10］=10000。

解這個方程，得x1=50，x2=80。

答：這種襯衫每件的價格應定為50元或80元。

【總結】在運用一元二次方程分析、表達和解決實際問題的過程中，可以借助于適當的數學直觀工具（如表格、線形示意圖等），找出問題中的已知量、未知量，分析數量之間的相等關系，建立數學模型，解決實際問題。此外，還需要根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。其具體過程是：

總之，利用一元二次方程解決實際問題，需要對題目中的關鍵語句進行分析，運用各種策略，確定等量關系，建立方程模型，問題便能迎刃而解。