剖析一元二次方程中的常見錯解

文 何加寬

一元二次方程是初中數學的重要學習內容，是中考中的“常客”。有些同學由于概念不清、方法不明等原因，經常在解決一元二次方程相關問題時出錯。現對一元二次方程的典型易錯題進行舉例剖析，以供同學們學習時參考。

一、忽視二次項系數不為0

例1若關于x的方程（m+1）xm2+1-2x+1=0是一元二次方程，則m的值為___________。

【錯解】因為這是一元二次方程，所以含有未知數x的項的最高次數是2，即m2+1=2，解得m=±1。

【剖析】本題考查一元二次方程的概念。錯因是對概念理解不透徹，忽視二次項系數a≠0。當m=-1時，此方程變成一元一次方程，顯然不符合題意，所以m=-1應舍去。

【正解】由m2+1=2，得m=±1。又因為m+1≠0，即m≠-1，所以m的值為1。

【點評】ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）是一元二次方程的一般形式。同學們在解題時，不能看到“二次”就只顧“次數”，還需注意a≠0的條件限制。同學們平時對一元二次方程等概念的學習，不僅要看“樣子”，還要關注“條件”。

二、解方程步驟不清、忽視條件漏根

例2解方程：（1）（x-1）2=4；（2）3x（x-3）=2（x-3）。

【錯解】（1）x-1=2，x=3；（2）方程兩邊同除以x-3，得

【剖析】（1）形如（x+h）2=a（a≥0）的一元二次方程可以用直接開平方法求解，根據平方根定義，x+h=±，而不是x+h=，這樣會丟根；（2）根據等式的性質：在等式的兩邊同乘（或除以）一個不為0的數或整式，等式仍然成立。在這里，很多同學沒有考慮x-3可以為0的情況，丟掉了x=3這個根。

【正解】（1）x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，即x1=3，x2=-1。

（2）3x（x-3）-2（x-3）=0，（x-3）（3x-2）=0，x-3=0或3x-2=0，所以

【點評】根據平方根定義，解方程時要明晰定義和性質，理清解方程的步驟，預防丟根；在應用等式的性質解方程時，切不可在方程兩邊同除以含未知數的代數式，否則將失根。增根好剔除，失根難尋找哦。

三、忽視分類討論

例3已知關于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有實數根，求m的取值范圍。

【錯解】因為關于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有實數根，所以m-2≠0，［-2（m-1）］2-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

【剖析】題目中沒有指明關于x的方程是一元二次方程，那么它也可能是一元一次方程，因此要對關于x的方程進行分類討論。

【正解】因為關于x的方程（m-2）x2-2·（m-1）x+m+1=0有實數根，

所以（1）當m-2=0，即m=2時，原方程可化為-2x+3=0，解得，則m=2時，方程有實數根；

（2）當m-2≠0，即m≠2時，［-2（m-1）］2-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

綜上所述，m的取值范圍是m≤3。

【點評】我們在解題時，要看清題意，不能盲目認為有實數根的方程就是一元二次方程。“有實數根”不等于“有兩個實數根”，對于含字母參數的方程ax2+bx+c=0存在實數根時，需分a=0和a≠0兩種情況分類討論。

四、忽視實際意義

例4某商場以成本為每件60元購進一批襯衫，以每件100元的價格銷售，每天可賣出20件。為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商店決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現：若每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件。若商店平均每天盈利1200元，每件襯衫的售價應定為多少元？

【錯解】設每件襯衫的售價為x元。根據題意，得（x-60）［20+（100-x）］=1200，整理，得x2-170x+7200=0，解這個方程，得x1=90，x2=80。

答：每件襯衫的售價為80元或90元。

【剖析】根據“總盈利=單件利潤×銷售數量”，歸為“a×b=c”模型。本題要考慮“每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件”，轉化為每降價1元，每天多賣件，還要注意“盡快減少庫存”這個條件，對兩個根進行取舍。

【正解】設每件襯衫的售價為x元。

整理，得x2-170x+7200=0，

解這個方程，得x1=90，x2=80。

因為商場要擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，所以當x1=90時，銷售量=20+（100-x）=40；當x2=80時，銷售量=20+（100-x）=60，因此，每件襯衫的售價90元不合題意，舍去。

答：每件襯衫的售價為80元。

【點評】一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。檢驗方程的解，不僅要考慮是否適合方程本身，還要考慮是否符合實際意義。