乘風破浪的韋達定理

文 張明明

韋達定理反映一元二次方程中根與系數的關系，是解決數學問題的有力武器，乘風破浪全靠它。

具體內容如下：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根是注意它的使用條件是b2-4ac≥0，其中，b2-4ac叫作根的判別式。

也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。

若二次項為1，可以得到更簡潔的結論：如果一元二次方程x2+px+q=0的兩個實數根是x1、x2，當p2-4q≥0時，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。

也就是說，對于任何一個有實數根且二次項系數是1的一元二次方程，兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項。

蘇科版數學教材九年級上冊“一元二次方程”這一章中有這樣一道例題：

例題求下列方程兩根的和與兩 根 的 積：（1）x2+2x-5=0；（2）2x2+x=1。

本題不需要解方程，第（1）題可以直接利用韋達定理求解；第（2）題可以先把方程改寫成一般式，再利用韋達定理求解。中考中經?？匆婍f達定理的身影，應用的形式多種多樣。

變式1（2020·黑龍江龍東）已知2+是關于x的方程x2-4x+m=0的一個實數根，則實數m的值是（ ）。

A.0 B.1

C.-3 D.-1

【解析】方法一：把x=2+代入方程得（2+）2-4（2+）+m=0，解得m=1。

【小結】本題利用韋達定理可以大大減少運算量，降低出錯率。

變式2（2019·四川成都）已知x1、x2是關于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的兩個實數根，且-x1x2=13，則k的值為________。

【解析】根據題意，得x1+x2=-2，x1·x2=k-1，

解得k=-2。

【小結】如果題目中有兩根滿足的等式（或不等式），可以將此關系式進行恒等變形，然后利用韋達定理代入，即可得到關于要求參數的方程（或不等式），從而求出參數的值（或范圍）。

變式3（2019·山東淄博）若x1+x2=3，=5，則以x1、x2為根的一元二次方程是（ ）。

A.x2-3x+2=0

B.x2+3x-2=0

C.x2+3x+2=0

D.x2-3x-2=0

【解析】因為（x1+x2）2=+2x1·x2，

又因為x1+x2=3=5，

所 以2x1·x2=（x1+x2）2-（）=9-5=4，

所以x1·x2=2，

所以以x1、x2為根的一元二次方程是x2-3x+2=0。選A。

【小結】題目已知x1+x2的值，我們只要再求出x1·x2的值，就可以求出以x1、x2為根的一元二次方程x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0。一般地，如果一元二次方程的兩個實數根x1、x2滿足x1+x2=-p，x1·x2=q，則這個一元二次方程可以是x2+px+q=0（各項系數都乘相同的不為0的倍數也成立）。

變式4（2019·湖北荊門）已知x1、x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個不相等實數根，且滿足（x1-1）（x2-1）=8k2，則k的值為___。

【解析】因為x1、x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的 兩 個 實數根，

所以x1+x2=-（3k+1），

x1·x2=2k2+1。

因為（x1-1）（x2-1）=8k2，

即x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

所以2k2+1+3k+1+1=8k2，

解這個方程，得k1=-，k2=1。

因為關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0有兩個不相等的實數根，

所以b2-4ac＞0，把k的值代入檢驗得k=1。

【小結】在應用韋達定理之前，我們要注意其運用的前提是一元二次方程有解，即滿足判別式b2-4ac≥0，這往往是容易忽視的隱含條件，解題時要特別留心。

小試牛刀

1.（2020·江蘇泰州）方程x2+2x-3=0的兩根為x1、x2，則x1·x2值為________。

2.（2019·山東濟寧）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個根，則方程的另一個根是________。

3.（2019·廣東廣州）關于x的一元二次方程x2-（k-1）x-k+2=0有兩個實數根x1、x2，若（x1-x2+2）（x1-x2-2）+2x1·x2=-3，則k的值是（ ）。

A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2

4.（2020·湖北鄂州）已知關于x的方程x2-4x+k+1=0有兩個實數根。

（1）求k的取值范圍；

（2）設方程兩個實數根分別為x1、x2，且求實數k的值。