掌握轉化思想 以不變應萬變

文 何 平

方程是初中數學的重點內容之一。初中階段我們經歷了解一元一次方程、二（三）元一次方程組、分式方程、一元二次方程，求方程的解最終都是轉化為x=a的形式，上述方程的解法都離不開轉化的數學思想。對于一元二次方程，常見的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，這幾種常見解法之間既有區別也有聯系。下面我們通過具體的問題一起來剖析它們之間的關系。

例1解方程：x2+2x+1=9。

【方法一】觀察方程左邊，我們可以發現它符合完全平方公式，那么我們可以利用配方法、直接開平方法求解。

解：（x+1）2=9，

x+1=±3，

∴x1=2，x2=-4。

【點評】配方法是通過將方程中含x的項配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法。當二次項系數為1時，配方法的關鍵是將方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；當二次項系數不為1時，先把二次項系數化為1，然后再配方。因此，配方法適合求解所有的一元二次方程。

【方法二】觀察這個方程，我們還可以把方程整理成一般形式，選擇公式法求解。

解：把方程化成一般形式，得

【點評】對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0），當b2-4ac≥0時，同學們只需要將各項系數代入公式即可求解。公式法同樣適合求解所有的一元二次方程。

【方法三】方程左邊可以利用完全平方公式，然后把方程右邊的常數9移項后再利用平方差公式分解因式，因此我們還可以選擇因式分解法。

解：（x+1）2-9=0，

（x+1+3）（x+1-3）=0，

（x+4）（x-2）=0，

∴x+4=0或x-2=0。

∴x1=-4，x2=2。

【點評】在解方程時，我們要注意觀察方程的特點，思考能不能用提取公因式、完全平方公式、平方差公式等進行因式分解，從而將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程的積的形式，實現降次的目的。因式分解法在解方程時比較簡單，但是并不適合所有的一元二次方程，需要我們靈活選用。

【總結】解一元二次方程的基本思路是將二次方程轉化為一次方程，實現降次的目的。

降次有兩條路徑：開方和因式分解。解一元二次方程時，要開方需要先配方，利用平方根的定義將方程轉化為一次方程，實現降次的目的；因式分解法是要先將方程的一邊化為兩個一次因式相乘，另一邊化為0，再分別使這兩個一次因式等于0，其實配方法也是特殊的因式分解法。另外，通過配方法，我們能推出求根公式，公式法是直接利用求根公式解方程。具體如下圖：

配方法、公式法適用于所有的一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時比較簡便，因此我們要根據方程的特點，靈活選用各種解法，以優化思維。下面我們再來看看如何利用轉化的思想解決不熟悉的方程。

例2解方程：x3-2x2-9x+18=0。

【分析】這是一元三次方程，類比之前各類方程的解法，依然應該通過轉化思想實現降次的目的。觀察方程的特點，我們可以分項組合，提取公因式，利用因式分解法求解。

解：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0。

∴x1=2，x2=-3，x3=3。

變 式解 方 程：（x2+x-3）（x2+x-5）=3。

【分析】這是一個高次方程。觀察方程的特點，我們可以利用換元法實現降次的目的，從而將方程轉化為熟悉的方程求解。

解：設x2+x=t，

則方程可以化為：

解得x1=2，x2=-3，x3=-2，x4=1。

【點評】高次方程的基本解法思路依然是通過轉化思想，把高次方程逐漸轉化為一次方程求解。

例3解方程=-x。

【分析】這是無理方程（根號下含有未知數的方程）。我們可以通過將方程兩邊同時平方，把無理方程轉化為有理方程求解。

解：方程兩邊同時平方，得

經檢驗，x1=5不滿足原方程，舍去。

∴x=-1是原方程的解。

變式解方程：2-=-x。

解：移項得=2+x，

方程兩邊同時平方，得：

經檢驗，x1=1，x2=-1都是原方程的解。

【點評】無理方程的基本解法思路仍然是通過轉化思想，把無理方程轉化為有理方程，具體的策略是方程兩邊同時平方。但是解這類方程時我們要注意驗根，防止產生增根。

同學們，方程這個大家族通常可以分為有理方程和無理方程，有理方程又包括整式方程和分式方程。我們熟悉的一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程都是整式方程。在解一元二次方程時，利用轉化思想實現降次；在解二元一次方程組時利用轉化思想實現消元；在解分式方程時，利用轉化思想，通過去分母轉化為整式方程；遇到無理方程，同樣通過去根號轉化為有理方程來解。具體如下圖：

方程千變萬化，但是解方程的基本思路都是通過轉化思想，最終轉化為x=a的形式。在解題過程中，我們需要結合方程特點，靈活選用解法，體會轉化思想，以不變應萬變。