圖形中的一元二次方程

文 何君青

方程是初中數學“數與代數”中重要的一部分內容，蘇科版九年級教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來，各地中考普遍從不同角度對一元二次方程的知識進行比較全面、系統的考查，大部分試題通過直接考查一元二次方程的意義與解法，突出對基礎知識與基本技能的考查；通過設置現實問題情境，考查同學們列一元二次方程解決實際問題的能力，突出對數學建模和數學應用的考查；通過設置綜合性問題，考查同學們對一元二次方程的靈活運用，突出對方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結合的問題為例進行剖析，以期對同學們一元二次方程的學習有所幫助。

一、圖形構成與一元二次方程

各地普遍采用設置符合同學們認知的實際問題情境的方式，考查列方程解決實際問題的能力。特別突出的是，部分試題注重利用方程的結果，對實際問題作出判斷與預測，或對實際問題設計實施方案等方式，強化對數學應用的考查。

例1用一條長20cm的繩子能否圍成一個面積為30cm2的矩形？如能，說明圍法；如果不能，說明理由。

解：設矩形的長為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據題意，得x（10-x）=30，

即x2-10x+30=0。

因為Δ=b2-4ac=102-4×30=-20＜0，

所以此一元二次方程無實數根。

答：用一條長20cm的繩子不能圍成一個面積為30cm2的矩形。

【點評】題目在考查列方程的同時，更關注對實際問題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構成，則能算出具體的值；若不能構成，則找不到符合條件的值，或無實數根，或算出的根不在實際范圍內。

二、動點問題與一元二次方程

由于動點問題是數學考試中重要的一類題型，所以一元二次方程還常常會與動點問題結合，考查同學們列方程解決問題的能力。特別需要注意的是，部分試題會和面積、長度等知識結合，考查同學們靈活運用方程的能力。

例2如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。點P從點A出發沿AC邊向點C以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動。當點Q到達點B時，點P停止移動。

（1）幾秒鐘后，S△PCQ=3cm2？

（2）幾秒鐘后，PQ=5cm？

解：（1）設x秒后，ΔPCQ的面積等于3cm2。

解這個方程，得x1=1，x2=3。

答：1秒或3秒后，△PCQ的面積等于3cm2。

（2）設t秒后，PQ的長為5cm。

根據題意，得（4-t）2+（2t）2=52。

【點評】解決與動點問題融合的一元二次方程綜合題時，同學們應首先根據題意表示出各條線段的長度，再根據所問的問題，列出方程，算出相應的結果。遇到此類考題時，同學們需特別注意要在最后檢驗算出的結果是否符合實際情況，若不符合，需要舍去。

三、一元二次方程的圖形解法

對于一元二次方程的求解方法，同學們一般想到的是直接開平方、配方、公式、因式分解等方法，然而借助圖形也能求出一元二次方程的正根。這類問題的研究有助于大家開闊眼界，發展思維。

例3怎么用圖形解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？

幾何建模：

（1）變形得：x（x+2）=35；

（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖2；

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）2或4個長（x+2）、寬x的矩形之和加上中間邊長為2的小正方形面積。

即（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因為x（x+2）=35，

所以（x+x+2）2=4×35+22，

所以（2x+2）2=144，

因為x＞0，

所以x=5。

思考：請利用拼圖求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解。

解：畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造圖3，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式：（x+x+b）2或4個長為x+b、寬為x的矩形面積之和加上中間邊長為b的小正方形面積。

即（x+x+b）2=4x（x+b）+b2，

因為x（x+b）=c，

所以（x+x+b）2=4c+b2，

所以（2x+b）2=4c+b2，

因為x＞0，

【點評】此題從教材中一元二次方程拼圖法入手，以特殊的一元二次方程為背景拓展為一類一元二次方程的求法，對于同學們來說，有一定的難度，故題目鋪設了臺階，讓大家先了解解決的方法，再進行探討。事實上，此題用因式分解法很簡單，但拼圖法更形象、直觀。本題通過對同一個圖形面積整體和部分的不同表達探索出一元二次方程的正數解，同學們是否會聯想到一元三次方程的正數解的解法呢？平面上，一個矩形的長、寬可以看作是兩個關于x的代數式，求面積可以構建一元二次方程，那么空間圖形中長方體的長、寬、高也可以看作是三個關于x的代數式，求體積是否可以構建一元三次方程，從而借助體積不變的方法解決呢？