分類例說，突破“重圍”

文 吳 凡

一元二次方程的學習是同學們繼學習了一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識之后，對方程的繼續探究學習，所以在入手時較為簡單。在方程求解過程中，借助轉化的思想，我們可將一元二次方程降次為一元一次方程來解決，因此前面所學的解方程的知識對本章的學習有著很好的鋪墊作用。同時，一元二次方程的學習與一元二次不等式、二次函數的學習也有著極大的關聯。我們還能發現本章的學習來自生活實際，最終又回到了生活實際，體現了方程是刻畫現實世界中數量關系的有效模型。

學習中，我們首先要明確本章的具體學習目標：

1.理解并會運用配方法、公式法、因式分解法解含數字系數的一元二次方程；

2.會用一元二次方程根的判別式判別該方程是否有實數根以及兩個實數根是否相等；

3.了解一元二次方程的根與系數的關系；

4.能根據具體問題中的數量關系列出方程，解決實際問題。

下面我們結合具體例題，一起來看看一元二次方程這一章中的主要知識點及常見考題。

知識點1 解數字系數的一元二次方程

這類題主要考查一元二次方程的解法。一元二次方程的解法主要包括：配方法、公式法和因式分解法等。解決此類問題的基本策略就是降次，即通過配方、因式分解等，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。具體地，通過配方，可將一元二次方程轉化為x2=n或（x+m）2=n（n≥0）的形式再求解；一元二次方程的求根公式x=也是對方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后得出的。

例1（2020·江蘇南京）解方程：x2-2x-3=0。

【分析】先觀察這個方程的結構，這是一元二次方程，且a=1，b=-2，c=-3，我們可以選擇配方法或者因式分解法來解。

解法一（配方法）：

移項，得x2-2x=3，

配方，得x2-2x+12=3+12，

即（x-1）2=4，

由此可得x-1=±2，

所以x1=-1，x2=3。

解法二（因式分解法）：

原方程可變形為（x+1）（x-3）=0，

x+1=0或x-3=0，

所以x1=-1，x2=3。

例2（2019·江蘇揚州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是________。

【分析】先觀察這個方程的結構，發現等號兩邊都有x-2，我們可以移項為x（x-2）-（x-2）=0，因此可以選擇因式分解法（提取公因式）來求解，或者將這個方程化成一般式x2-3x+2=0，選擇公式法或配方法來解。

【答案】x1=2，x2=1。

知識點2 一元二次方程的根與系數的關系

此類知識點主要有兩類考查形式：（1）判斷該方程有幾個實數根或兩個實數根是否相等；（2）一元二次方程的實數根與系數間有怎樣的關系。這類題型可通過b2-4ac的符號來判斷ax2+bx+c=0是否有實數根或者有幾個實數根，具體方法如下。

當b2-4ac＞0時，有兩個不相等的實數根；

當b2-4ac＝0時，有兩個相等的實數根；

當b2-4ac＜0時，沒有實數根。

對于一元二次方程根與系數的關系，也可在了解以下知識的基礎上來解題。

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，那么有

例3（2019·江蘇淮安）若關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根，求實數k的取值范圍是（ ）。

A.k＜-1 B.k＞-1

C.k＜1 D.k＞1

【分析】由信息“方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根”可知：當b2-4ac＞0時，此方程有兩個不相等的實數根。因此b2-4ac=22-4×1×（-k）=4+4k＞0，即k＞-1，故選B。

【答案】B。

例4（2019·江蘇鹽城）關于x的一元二次方程x2+kx-2=0（k為實數）的根的情況是（ ）。

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

B.沒有實數根

D.不確定

【分析】在此題中，b2-4ac=k2-4×1×（-2）=k2+8＞0，因此該方程有兩個不相等的實數根，選A。

【答案】A。

知識點3 用一元二次方程解決實際問題

一般情況下，我們在認真審題的基礎上，可以借助表格、圖表等多種手段來厘清題目中的等量關系，從而建立關于x的一元二次方程，再通過解此方程來解決實際問題。

例5在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發沿BC以2cm/s的速度向點C移動，幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？

【分析】對于此類實際問題，我們先要認真審題，嘗試找出題目中的等量關系，再用數學符號語言來表示它們，最后寫出關于所設未知數的方程，解方程，從而解決問題。在此題中，我們不妨設xs后△DPQ的面積為28cm2，然后結合面積關系，得到數量關系：矩形ABCD的面積-△DAP的面積-△QPB的面積-△QCD的面積=28，從而列出方程。

解：設xs后△DPQ的面積為28cm2，則△DAP，△QPB，△QCD的面積分別

根據題意，得

即x2-6x+8=0，

解這個方程，得x1=2，x2=4。

答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2。