萬有引力與距離平方成反比的牛頓式幾何證明
——解讀經典之《自然哲學的數學原理》

王 磊 陳建文

(1. 盤錦市高級中學，遼寧 盤錦 124000； 2. 盤錦市遼東灣實驗高級中學，遼寧 盤錦 124000)

1 引言

天體運動是高中物理必修2的內容，天體運動首先從開普勒的三大定律講起.在勻速圓周運動模型下，將開普勒第三定律與圓周運動理論結合即可推導出牛頓萬有引力公式.哈雷、胡克等物理學家就是基于這樣的方法推測太陽對行星的引力與距離平方成反比.但我們知道萬有引力的發現最終還是歸功于牛頓，因為只有牛頓完整的證明了在距離平方反比的中心力場下物體的運動為橢圓.

在好友哈雷的幫助下牛頓于1687年出版了他的劃時代巨著《自然哲學的數學原理》(以下簡稱《原理》).在書中，牛頓詳細的用帶有微分思想的幾何方法論述了平方反比中心作用力下物體的運動軌跡為橢圓，這部分是《原理》一書中最精彩內容之一.其中涵蓋了大量的橢圓幾何問題與微分極限方法.《原理》成書雖已300余年，其用到的幾何知識與微分思想也基本涵蓋在高中范圍以內.但我國讀者想讀懂《原理》一書并不容易.一方面，牛頓模仿歐幾里得的《幾何原本》書寫方式，原理套原理，引理引引理，關于引力的平方反比的證明，作者為了成書的完備性從最初的幾個命題證明了幾十個定理與引理，持續近半部書的證明使得讀者難以找到清晰的邏輯鏈條.另一方面《原理》書原文為拉丁語，在后人將其用拉丁語譯為英語，傳入我國再譯為漢語的翻譯過程中失真現象比較嚴重，當下主要幾版譯書在該部分內容相關的如“正矢”、“縱坐標”等譯文以及相關配圖出現嚴重問題，讓讀者摸不著頭腦.《原理》一書中無論是牛頓開創的微分、極限思想，還是其高超的幾何能力都值得學生們仔細品讀.

2 牛頓對于萬有引力平方反比的論述

2.1 弧的“正矢”正比于時間平方

圖1

2.2 弧的“正矢”正比于引力

圖2

因為Cc平行于SB，有△SBc面積等于△SBC面積，又△SAB面積等于△SBc面積，可得△SAB與△SBC面積相等，相同方法下可得△SAB、△SBC、△SCD、△SDE、△SEF面積皆相等，由此可知每隔相同時間給運動物體以指向某一特定點S的沖量時，在該相同時間間隔Δt內，該定點與物體的連線掃過的面積相等，即定點S與物體連線掃過的面積與時間成正比，或者反過來說時間與面積成正比.

2.3 橢圓軌道下引力平方反比證明

圖3

圖4

(1)

(2)

(3)

(4)