利用matlab軟件分析一個物理情景

陳建偉

(浙江省諸暨中學，浙江 諸暨 311800)

在某復習資料中曾經出現如下這個習題.

例題.電磁彈射是我國最新研究的重大科技項目，原理可用下述模型說明.如圖1(甲)所示，虛線MN右側存在一個豎直向上的勻強磁場，一邊長L的正方形單匝金屬線框abcd放在光滑水平面上，電阻為R，質量為m，ab邊在磁場外側緊靠MN虛線界.t=0時起磁感應強度B隨時間t的變化規律是B=(B0+kt)，k為大于零的常數，空氣阻力忽略不計.

圖1

(1) 求t=0時刻，線框中的感應電流I及其功率P.

(2) 若線框cd邊穿出磁場時速度為v，求線框穿出磁場過程中，安培力對線框所做的功W及通過導線截面的電荷量q.

(3) 若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框,如圖1(乙)所示,在線框上加一質量為M的負載物，求t=0 時線框加速度的大小和方向.

筆者認為(2)問中“若線框cd邊穿出磁場時速度為v”存在科學性問題.線框在既定的物理條件下從靜止出發，是不可能沖出磁場的，分析如下.

設任意t時刻，cd邊產生的位移為r，有

(1)

ma=BIL.

(2)

(3)

Φ=B(L-r)L.

(4)

B=(B0+kt).

(5)

解得

(6)

首先給題中各物理量隨意數值化，即任意給定一個初始條件，不妨設置如下參數：L=1 m，m=3 kg，R=2 Ω，B0=2 T,k=0.5 T/s.

在matlab軟件中輸入上述二階變系數微分方程，得出各物理量隨時間的變化關系如圖2-6所示.

圖2 v0=0時r-t關系

圖3 v0=0時v-t關系

圖4 v0=0的對比圖

圖5 v0=0時F-t關系

圖6 v0=0時Φ-t關系

圖2為位移r隨時間t的變化圖像，圖3為速度v隨時間t的變化圖像，圖4是把兩個圖像在同一圖像中顯示，圖4的小圖為20 s內明顯變化時段的放大圖.(左縱坐標為位移、右縱坐標為速度)，從圖中不難發現位移趨向于1 m時，速度趨向于0.

圖5是安培力F隨時間而變化關系，可以發現足夠長時間后力趨向于0，圖6是磁通量Φ隨時間而變化關系，足夠長時間后磁通量趨向于定值.

分析如下.

t=0開始，磁通量Φ增大，安培力F向左，cd向左運動，速度增大.但是可以發現t=0時刻，F最大，此后F慢慢減小.可以推斷，開始運動后，在公式中F=BIL中，盡管磁感應強度B在增大，但是k不變，回路面積減小，感生電動勢減小，又cd棒向左運動，產生了與感生電動勢方向相反的動生電動勢，因此總電動勢減小，總電流I減小，最終由圖像可見F減小.

從圖中可以看到，當位移大致為r=0.16 m時，磁通量Φ達到最大值，此后開始減小.可以推斷這是由于cd向左的較大速度引起的磁通量減小程度大于由磁感應強度增大所引起的磁通量增大程度而產生的結果(初始Φ=2 Wb，最大時約Φ=2.4 Wb).因此安培力F反向向右(且可以看到此后向右的力先增大后減小最終趨向于0)，相應的速度開始減小(最大速度約v=0.145 m/s).

長時間后磁通量趨向于某一定值(約2.18 Wb)，速度、安培力趨向于0，r趨向于1 m，可以推斷出最終cd會停在磁場內側無限接近于邊界處.(磁通量為某一定值是無限大磁感應強大與無限小面積乘積的結果)

由此可得，在上述既定數值的物理條件下，cd邊不可能穿出磁場.

為了使結果有普適性，接著筆者更改了上述所有物理量的初始條件(唯有初速度為0保持不變)，經過運行后得到的結果，依然是cd邊不可能穿出磁場.(運行過程相似，只不過是速度開始減小的時刻和位移值、各種最大值等改變了)

綜上分析，筆者認為本題情景，線框從靜止出發，是不可能穿出磁場的.

那么在初速度不為0的情況下，結果又會如何呢？筆者依然保持如上一樣的物理量初始條件.并且給予一定的初速度，經過多次運行發現，當初速度比較小的情況下，cd依然不能穿出磁場，如圖7中v=0.1 m/s的情況，如圖8中v=0.25 m/s的情況.

圖7

圖8

當初速度比較大的情況下，cd可以穿出磁場，如圖9中v=0.85 m/s的情況，如圖10中v=1.2 m/s的情況.

圖9

圖10

從上述4種情況，可知當v=0.1 m/s的情況，速度是先增加后減小，另外3種情況速度直接開始減小.可以根據如下的計算得出v=0.25 m/s是直接開始減速的最小初速度.

由(6)式， 要求當t=0，r=0時，

(7)

解得

(8)

即當初速度為0.25 m/s時，一出發cd就開始減速了，從圖中也可以看出.

經過多次調試，當初速度大約為v=0.85 m/s，cd剛剛能出磁場，由圖9可以看出.

為了結果的普適性，筆者繼續更改了上述所有物理量的初始條件，經過運行后得到的結果，依然初速度較小的情況下，cd不能出磁場，當初速度較大的情況下，cd能出磁場，當然不同的初始條件下速度的臨界值也就不一樣了.

綜上可知，當有一定初速度的情況下，初速度較小的情況下，cd不能出磁場，當初速度較大的情況下，cd能出磁場.