基于折射定律對透鏡成像的理論計算及近似處理

趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學建和分校，湖北 武漢 430065)

透鏡成像是幾何光學的重要內容，在照相機、投影儀、顯微鏡、望遠鏡等相關光學系統的研究中也是基礎，在《光學》教材中通常結合費馬原理對透鏡成像關系進行計算給出對應公式的高斯形式.[1-3]這種理想模型只能初略地分析簡單的光學系統和確定成像的大致位置，對于生活中的光學系統需要準確的計算并加以修改設計從而達到更好的應用價值.在相關幾何光學書籍中多以單個折射面進行準確計算.[4,5]基于折射定律，首先對透鏡成像中二維模型進行理論計算，得出了準確的物像關系公式，并與近似計算結果進行了比較，同時作圖分析了球面透鏡像差的特點；然后根據準確物像關系，在忽略微小量的近似處理條件下得到透鏡物像關系近似公式，比高斯形式要簡單，而且適用于任意介質；在薄透鏡中認為hA=hB，給出近軸條件下薄透鏡的物像關系公式，與薄透鏡的高斯公式完全一致.

1 透鏡物像關系公式的準確形式

透鏡的兩個曲率半徑分別為r1和r2的折射球面組成，透鏡的厚度為d，透鏡左側和右側介質的折射率分別為n1、n2，透鏡的折射率為n.若在主軸上有一點光源P，發出的一條光線PA經透鏡折射后，交于主軸P′點，與透鏡左側右側的交點分別為A和B，初始條件已知θ2(或hA)、θ(或者-l1)，其余對應符號如圖1所示.

圖1 透鏡成像的幾何關系

由以上條件根據幾何關系可得

(1)

上式根據和差化積化簡約分并利用幾何關系α+γ=θ1+θ2，可得

sinγ=sin(θ1+θ2-α)=

(2)

像所在的位置

(3)

同理可得物所在的位置

(4)

聯立(3)、(4)兩式即可到準確的物像關系公式如下

(5)

此式給出的單個透鏡的準確物像關系，而一般書籍中給出的均由單個折射面對成像系統分析，[4，5]借助數值模擬作圖在分析幾何相差直觀形像，以《光學教程》第199頁關于厚透鏡像所在位置的例題為例，[1]根據(5)式得到的像方截距與高斯公式得到像方截距如圖2所示.

圖2 像方截距l2隨入射高度h的奕化關系

其中r1=60 mm，r2=40 mm，d=20 mm，l1=80 mm，n1=n2=1.5，n=1.曲線(a)為本文關系式(5)所得像方截距l2隨入射光線離軸距離h的變化關系，在離軸距離為-5 mm～5 mm之間，像方截距在116 mm～122 mm之間，并不在確定的某一點；直線(b)為高斯物像關系公式所得結果為120 mm.從圖2中可以看出本文計算結果存在球差，離軸越近與書本理論計算結果越接近，離開透鏡后的光線如圖3所示.

圖3

從圖3可以看出光線經過透鏡后會聚于某一點附近，在粗略分析透鏡成像問題可用(5)式數值計算；但將橫坐標縮小到116 mm～122 mm之間光線并不完全會聚一點(如圖4)，根據彌散斑的概念應取118 mm，這對初學光學設計的學生可以進行數值分析直觀有效.

圖4

2 近軸條件下透鏡物像關系的近似處理

在近軸條件下的薄透鏡可以認為sinx≈x；xA、xB?-l1、l2、-r2、r1；-l1θ≈r1θ2≈hA；-r2θ1≈hB，利用以上近似處理(5)式化簡為

l2·(φ-θ1)=hB.

(6)

(7)

將-l1θ≈r1θ2≈hA，-r2θ1≈hB代入上式化簡可得

(8)

由幾何關系近似可得

(9)

(10)

將(10)式代入(8)式即可得到近軸條件下的透鏡物像關系

(11)

(11)式所描述的透鏡物像關系公式對薄透鏡和厚透鏡均能使用，對于薄透鏡計算結果更精確，而且適用于任意介質.當n1=n2=1時，上式可簡化為空氣中厚透鏡物像關系公式，經過一定的轉換，可以得到與厚透鏡物像關系高斯公式的原始形式一致，[1]但本文中所提出的公式明顯更簡潔適用，而且對任意介質均能使用.

若為薄透鏡，可以認為hA=hB，則(8)式可以化簡為近軸條件薄透鏡物像關系公式，與高斯公式一致.

(12)

在相關文獻和書籍中，薄透鏡的物像關系多以費馬原理推導.[2，3]本文借助折射定律中幾何關系推導結果與費馬原理推導的結果一致，可為初學者提供更多的思路.