彈性碰撞次數與π的關聯

張 偉

(重慶市萬州高級中學，重慶 404120)

1 題目

圖1

如圖1所示，在光滑水平面上，有一質量為M的小球A向墻運動，速度為v,A和墻之間的連線上停著另一個質量為m的小球B.假設A與B，B與墻之間的碰撞均為完全彈性碰撞，兩物體可以看成質點.顯然當兩個球質量相等時，A碰上B，A停下來，B繼續運動，B碰到墻再返回碰A.A與B、B與墻之間一共發生了3次碰撞.

如果M>m，那么小球A碰完小球B之后還會繼續向墻運動，總共的碰撞次數可能會大于3.實際上，

當M=104m時，共碰撞314次;

當M=106m時，共碰撞3141次；

當M=108m時，共碰撞31415次.

隨著A和B質量之比的增大，總共的碰撞次數會和圓周率的數值有關.如何解釋這個關系？

2 推導分析

設第i次小球B與小球A碰撞后，小球B的速度為ui，小球A的速度為vi，由機械能守恒

(1)

由數學知識可知，當x2+y2=C(C為常數)，滿足該方程的點(x，y)在平面直角坐標系中為組成了一個圓.

設M=Nm，代入(1)式，得

(2)

將式(2)化簡，得

(3)

在最開始的時候，即小球A與B第一次碰撞之前，A的速度為v，B的速度為0，在圖3中用點a(v,0)來表示該狀態.不妨設以向左為正方向.

圖2 式(3)直角坐標系下的圓

圖3 用點在圓中表示每次碰撞

上述過程可以重復下去，直到ui≤vi時為止.此時，兩個滑塊都向右運動，B塊追不上A，于是不會再發生碰撞.把所有的點依次用直線連接起來，如圖3.

考慮A與B碰撞過程中動量守恒，假設兩個小球由于碰撞前從相向而行(如圖4甲)到碰撞后同向而行(如圖4乙)，則

圖4

Nmvi-mui=Nmvi+1+mui+1.

(4)

將式(2)兩邊同時除以v2,得

(5)

(6)

(7)

由和差化積公式

代入式(7)，得

(8)

化簡得

(9)

同理可得，在圖5中的上半圓與下半圓每個兩點之間的弧長都是定值.由式(9)，可得

(10)

(11)

圖5中上半圓中所有兩點之間的弧長個數表示A與B碰撞的次數， 圖5中下半圓中所有兩點之間的弧長個數表示B與墻碰撞的次數，則B與A，B與墻之間的碰撞次數k，

圖5 在“圖3”所示的圓中表示α與β

(12)

其中[ ]表示取整.

至此，問題得解.

3 結束語

通過能量守恒和動量守恒，采用圓方程和三角函數的數學手段，解釋了小球間、小球與墻之間的彈性碰撞次數與π的關聯.在物理競賽教學中多和學生進行這樣的分析討論，無論對于提升學生的理論水平、分析能力，還是對于提升學生物理學習的興趣，都能起到較大的推動作用．