有關“輕桿”的習題研究

盧敏翔

(蘇州工業園區星海實驗中學，江蘇 蘇州 215000)

理想化模型的建立過程滲透著研究問題時抓住主要因素、忽略次要因素的哲學思想.建立理想化模型是簡化物理研究的重要手段，是一種非常重要的科學研究方法.輕桿是物理學中常見的理想化模型，輕桿在物理上是指不計質量不計形變的剛性桿，具有以下特點.

(1) 合力為0.根據牛頓第二定律，輕桿的合力必然為0.如果輕桿只受兩個力，那么這兩個力一定是等大反向的，如果受到3個力的作用，那么這3個力一定是共點力(三力匯交原理).

(2) 速度可以突變.質量是慣性大小的唯一量度，質量為0，說明物體運動狀態的改變就沒有了難度，瞬間就可以獲得任意大的速度，這就意味著輕桿的速度是可以突變的.

(3) 不具有任何能量.質量不計，意味著輕桿不具有動能，勢能.輕桿速度突變時無需外力做功，也無需消耗任何能量.

在處理輕桿的問題時，要優先抓住輕桿的以上特點來進行分析.下面通過典型的例題，從常見的“動桿”、“定桿”的受力特點出發，由淺入深，全面剖析輕桿在各種習題中的處理技巧.

1 “動桿”、“定桿”的受力特點

例1.如圖1(a)所示，水平輕桿BC的B端固定，C端有一定滑輪；如圖1(b)所示，水平輕桿BC的B端連接鉸鏈，C端摩擦很大，繩無法移動.當物體靜止時，∠θ均為30°，均不計繩子的質量，求兩種情況下桿C端對外的彈力大小？

圖1

解析：圖1(a)中的C端受力分析如圖2(a)所示，先求出拉力T1和T2的合力T合=T2=T1=mg，再根據平衡特點得到F與T合等大反向，易知桿C端對外的彈力大小為FN=mg.

圖2

總結：例1是涉及“定桿”和“動桿”受力特點的典型問題.這類問題往往會和輕繩結合起來.圖1(a)中的輕桿由于B端固定，因此是一根“定桿”，“定桿”對外提供的力不一定沿桿的方向；C端有光滑定滑輪，因此滑輪兩邊的繩的是可以自由活動的，這樣的結點稱為“活結”，“活結”兩邊繩的力一定是等大的.“定桿”本質上是輕桿一端和外界固定，組合成了一個整體，共同對外施力，方向可以沿任意方向，受力分析時不能單獨將“定桿”進行受力分析，需將“定桿”和固連的外界作為一個整體考慮.圖1(b)中的桿由于B端可轉動，因此是一根“動桿”，要使得“動桿”平衡，外界對桿的力必須沿桿的方向，否則桿就會轉動，因此桿對外界的力也必須沿桿的方向；C端結點兩邊的繩由于摩擦太大不能移動，因此是一個“死結”，“死結”兩邊的繩的拉力大小不一定相等.“動桿”由于可動，因此靜止時，其合力必為0(考慮轉動時，其合力矩也必為0).

2 “動桿”和“定桿”的拓展

例2.如圖3(a)所示， 已知小球質量為m，小車以加速度a向左做勻加速直線運動，裝置中兩輕桿固定連接，斜桿與豎直方向均成θ角度，試求輕桿對小球的作用力？

圖3

例3.如圖4(a)中輕桿BC的B端用鉸鏈接在豎直墻上，另一端C為一輕滑輪.重物G上系一輕繩經過滑輪固定于墻上A點處， 桿恰好平衡.若將繩的A端沿墻緩慢向下移(摩擦均不計)，則繩的拉力和BC桿對繩子的作用力各如何變化？

(a) (b)

解析：輕桿C端為光滑定滑輪，因此繩AC上的拉力和重物的重力G是一直恒等不變的；輕桿B端和鉸鏈相連，是“動桿”，繩AC上的拉力和重物重力的合力F應該要沿桿方向，當繩A端下移時，合力會由F1增加到F2，如圖4(b)所示，因此BC桿對繩子的作用力增大.

例3中很多學生在進行受力分析時，誤認為桿對小球的彈力F與豎直方向的夾角β和題目中給的角θ是同一個角，得出F=mg/cosθ的錯誤答案,產生這個錯誤的原因就是沒有認識到整根桿是一根“定桿”，對外提供的彈力F不一定桿沿桿的方向，只有滿足a=gtanθ時，才滿足β=θ，也即此時桿對小球的彈力才沿桿的方向.例3分析時既要注意到BC桿是“動桿”，結點C是“活結”之外，還要意識到當繩A端下移時，桿BC的形態必然會變化，即BC桿與豎直墻壁的夾角會減小，這是本題的一個難點，也是很多學生在進行受力分析時容易糊涂的地方.

3 輕桿在受力分析中的處理技巧

有一些涉及輕桿模型的題目的情景簡單，但是受力分析卻很難，解題的關鍵是如何通過輕桿的特點做出正確的受力分析圖.

例4.如圖5(a)所示，AC為輕繩，BC為彎曲的硬輕桿，B端用鉸鏈接于豎直墻上， 且AC=BC，當C端掛一質量為m的物體時， 繩AC的拉力為多大？

圖5

解析：以C點為研究對象，輕桿對C點的彈力FN方向一定是沿BC連線方向，作出C點受力示意圖如圖5(b)所示.利用力的矢量三角形和幾何三角形相似，可得FT=mg.

例5.輕質橫桿OB，O端用鉸鏈固定在墻上，B點用輕繩拉緊，使桿處于水平狀態，在B點掛重為G的物體，如圖6(a)甲所示，AB和OB的夾角為θ，在把重物的懸點向O端移動的過程中，求墻對桿作用力的最小值.

圖6

解析：該題中的重物的懸掛點向左移動，考慮整根桿的受力，輕桿受到重物的拉力T1，AB繩的拉力T2，以及墻對桿的力F，如圖6(b)所示.由于桿的合力為0，根據3力匯交原理，這3個力必然是共點力，由于T2的方向始終不變，因此F與T2垂直時，F最小，最小值Fmin=Gcosθ.

面對較難的受力分析時，一定要抓住輕桿的合力為0，從而得到正確的受力分析圖.例3的關鍵在于如何確定輕桿對C點的彈力方向，如果僅僅是考慮結點C的受力是無法確定輕桿對C點的彈力方向，此時應該轉換研究對象.先對輕桿進行受力分析，輕桿受到兩個力的作用， 即兩個端點對桿的作用力.由于桿處于靜止狀態， 這兩個力一定是一對平衡力，方向必在B點與C點連線上，從而反過來可以得到桿對C的作用力一定是沿BC方向的.例4的關鍵是需對整根輕桿進行受力分析，抓住輕桿處于靜止狀態，巧妙地運用3力匯交，結合動態圖像處理力的大小變化特征，避免了繁瑣的數學計算.兩道題的模型簡單，但是受力分析并不簡單，而在受力分析中，能否利用好輕桿合力為零的特點，是解題的關鍵所在.

4 輕桿在綜合力學問題中的處理技巧

在綜合力學問題中，物理過程復雜多變，如何在復雜多變的過程中理清物理問題的思路，輕桿是關鍵.

圖7

例6.如圖7所示，一輕質長木板置于光滑水平地面上，木板上放著質量分別為mA=2 kg和mB=1 kg的A、B兩個物塊，A、B與木板之間的動摩擦因數都為μ=0.2，水平恒力F作用在A物塊上，則下列說法正確的是(重力加速度g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

(A) 若F=1 N，則物塊、木板都靜止不動.

(B) 若F=1.5 N，則A物塊所受摩擦力大小為1.5 N.

(C) 若F=6 N，則B物塊所受摩擦力大小為2 N.

(D) 若F=8 N，則A物塊的加速度大小為3 m/s2.

解析：在A、B均與木板保持相對靜止時，A、B所受摩擦力會隨拉力增大而增大，以輕木板為研究對象，根據輕木板的合力為0，可知A、B兩物體對輕木板的摩擦力始終是等大的，由于A與木板間的最大靜摩擦力fA=μmAg=4 N，B與木板間的最大靜摩擦力fB=μmBg=2 N，所以一定是B物體所受摩擦力先達到最大靜摩擦力.設B物體所受摩擦力剛達到最大靜摩擦力時，拉力為F臨界，對整個系統使用牛頓第二定律得F臨界=(mA+mB)a臨界.對物塊B使用牛頓第二定律得fB=mBa臨界.聯立求解得F臨界=6 N，a臨界=2 m/s2.當F=1 N<6 N時，A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運動，(A)錯誤.當F=1.5 N<6 N時A、B均與木板保持相對靜止，對整個系統使用牛頓第二定律得1.5 N=(mA+mB)a.對物塊A使用牛頓第二定律得F-fA=mAa.聯立求解得fA=1 N，(B)錯誤.當F=6 N時B物塊所受摩擦力恰好達到最大靜摩擦力，(C)正確.當F=8 N>6 N時B物塊與輕木板間發生相對滑動，A物體與輕木板間不會發生相對滑動，則A物體的加速度F-f=mAaA，其中f等于B與輕木板間的滑動摩擦力，得到aA=3 m/s2，(D)正確，故選(C)、(D).

例7.某緩沖裝置的理想模型如圖8所示，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f.輕桿向右移動不超過L時，裝置可安全工作.一質量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導致輕桿向右移動L/4,輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦.求：

(1)若彈簧的勁度系數為k，輕桿開始移動時彈簧的壓縮量x；

(2)為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm；

(3)討論在裝置安全工作時，該小車彈回速度v′和撞擊速度v的關系.

圖8

解析： (1) 輕桿開始移動時，彈簧的彈力F=kx，且F=f，解得x=f/k.

(3) 設輕桿恰好移動時，小車撞擊速度為v1，則由動能定理可得

例6中的木板是輕質木板，木板的質量是不計的，跟輕桿是一樣的.如果以輕木板為研究對象，由牛頓第二定律可得A、B兩物體對輕木板的摩擦力大小始終相等.在A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運動過程中，A、B所受摩擦力隨著F的增大而增大，在其中一個物體所受摩擦力達到最大靜摩擦力后，該物體與木板之間出現相對滑動，另一物體與木板之間摩擦力不再增大、一定不會出現另一物塊也相對輕木板滑動的情況.這和“重”木板(考慮木板的質量)是不一樣的.這是該題的一個思維難點.突破該難點的方法就是抓住輕板的合力為0.例7中在桿開始移動前，彈簧逐漸被壓縮，直至桿開始移動，由于桿的質量不計，桿的合力一定為0，即彈簧彈力與桿收到的滑動摩擦力等大反向，因此彈簧的壓縮量不會再變大，之后彈簧和輕桿由于質量不計，能瞬間獲得和小車相同的速度并一起開始減速，直至速度為0，速度突變過程中不需要消耗任何能量；當分類討論小車彈回速度v′和撞擊速度v的關系時，當v1≤v≤vm時，由于彈簧被壓縮x后就不再變化，儲存的彈性勢能在桿移動過程中不變，小車彈回時的速度是不變的.對例7分析時只有清楚桿的受力特點和能量特點，才能理清整個過程中的物理思路.

結束語： 雖然實際問題中輕桿模型并不存在，但這種理想化模型的建立與分析恰恰是培養學生科學思維的很好途徑.物理中很多不計質量的模型與輕桿模型的分析方法是類似的，如輕繩、輕彈簧等，無論涉及的情景多么復雜，能否抓住這類輕模型的最主要特征會成為解題的關鍵所在.